Relation de Chasles

b f(x) dx a g(x) dx. a • Inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] (a < b). Si m et M sont deux réels tels que pour tous réels x de [a, b], b 1 f(x) dx M. on ait m f(x) M, alors m b−a a • Relation de Chasles a Convention : On pose a f(x) dx = 0 et a b f(x) dx = − b f(x) dx. a c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés. 1 f(x) dx = f(x) dx + a b b c Soit f une fonction continue sur un intervalle

coefficients qui peuvent être négatifs. Exemple 1 : Soit [AB] un segment. Construire le barycentre G de (A, 3) et (B, 2). ® ® ® 3 GA + 2 GB = 0 Le point G est donc tel que : Malheureusement, cette relation ne nous donne pas directement d'informations sur la position de G. Transformons avec la relation de Chasles : ® ® ® ® 3 GA + 2 GA + 2 AB = 0 ® 2 ® AG = AB 5 D'où : Pour placer G, il suffit de diviser le segment [AB] en 5 parties de longueurs égales : A Solution du problème de motivation : Adoptons

sur 6 points Deux carrés et de côtés respectifs 3 cm et 2 cm sont disposés comme l’indique la figure ci-contre. Les points et les points sont alignés. Le point est le point d’intersection des droites et 1a- En décomposant et à l’aide de la relation de Chasles, calculer b- Que peut-on en déduire pour les droites et ? 2a- Calculer b- Construire le point projeté orthogonal de puis en déduire sur la droite . 3a- Calculer DM, DC et CM. b- En déduire sur 20 , 2- Application : Dans un repère orthonormé

équipollents. C’est une application directe de la relation de Chasles. Dans l’égalité AB B V ϩ BD B V ϭ AD BV, on a remplacé BD B V par AC B V qui lui est équipollent, tel qu’il est expliqué en a) Or, remplacer un terme par un terme équivalent conserve l’égalité. 1 2 3 b) AB B V Ϫ AC BV ϭ AB B V ϩ CA B V Puisque –AC BV ϭ CA B V. AB B V Ϫ AC BV ϭ CA B V ϩ AB B V Puisque l’addition de vecteurs est commutative. AB B V Ϫ AC BV ϭ CB B V Par la relation de Chasles. c) 1) F F 2) EF V ϩ EG V BEF V Ϫ

sont-ils égaux ? 10π 2π −2π + 12π =− + 4π = 3 3 3 Les deux angles sont égaux. Relation de Chasles : La relation de Chasles pour les angles de vecteurs se définit ainsi : ( u , v ) + ( v, w ) = ( u , w ) Exemple : Soient 3 vecteurs u , v et w non nuls et tels que u , v = Démontrer que les vecteurs u et w sont orthogonaux. ( ) 7π et 6 π ( v, w) = 43 Solution : D’après la relation de Chasles, on sait que : u , w = u , v + v, w Donc u , w = ( ) (u, w) = π + 2π 2 7π 4π

IABJCDEFGHKL inscrit dans le cercle trigonométrique Donner les mesures de : (OI ; OC) (OB ; OE) (OA ; OF) (OJ ; OB)… Faire de même avec l’octogone puis 9 ; 11 ; 5 p.270 et le TD 2 p.256 Propriétés : u, v et w sont trois vecteurs non nuls. • Relation de Chasles : (u ; v) + (v ; w) = (u ; w) • Antisymétrie : (u ; v) = - (v ; u) • Colinéarité : (a u ; v) = (u ; v) si a > 0 (a u ; v) = (u ; v) + ( si a < 0 Exemples : (–u ; v) = ____________ et (–u  ; –v) = _______________ Exercices :

seulement si son orthocentre H et le centre O de son cercle circonscrit (c'est à dire du cercle unité) sont confondus, c'est à dire si h=p+q+r=0. - Etude du problème lorsque PQR est équilatéral : Nous supposerons dans la suite du paragraphe que la relation p+q+r=0 est vérifiée. Remarquons d'abord que la quantité S=|p(z-a)+q(z-b)+r(z-c)| ne dépend pas du choix du complexe z. En effet, on a toujours: S=|(p+q+r)z-pa-qb-rc|=|pa+qb+rc|=||a|+|b|+|c||=|a|+|b|+|c| Or on a montré que la définition des

: 2x-4y+4 = 0. 4°)on résout le système à 2 équations avec (AB) et (CD) et on trouve x=4 et y=3.     on résout le système à 2 équations avec (AB) et (EF) et on retrouve bien x=4 et y=3. Donc I(4;3) 5°) Je pense devoir utiliser la relation de chasles avec Si , AB = BI alors B est le milieu du segment [AI]. Seulement comparé aux exercices faits avec le prof, nous n'avons pas de formule genre AI = 2AB, par quels moyens dois-je le retrouver ? Merci pour les réponses, qu'elles soient construites

vecteurs de sens contraires ont même direction et même norme : → → → → u = − v ⇔ u = v . −→ −→ −→ −→ Soient deux vecteurs égaux AB et CD alors AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. B. Addition de deux vecteurs 1. Relation de Chasles −→ −→ −→ AB + BC = AC 2. Règle du parallélogramme −→ −→ −→ AB + AD = AC. [AC] est la diagonale du parallélogramme ABCD. −→ −→ Cas de deux vecteurs AB et BC de même direction −→ −→ −→ AB + BC = AC −→ −→ −→ AB + BC = AC 3

quelconques) « Calcul de αMA+βMB=αMA+βMB pour tout point M » * Si += () αMA+βMB=αMA+βMB =-βMA+βMB =+βAM+βMB =β(MA+MB) αMA+βMB=βAB (Chasles) * Si + On pose G=Bar A;α;(B;β) αMA+βMB=αMG+GA+β(MG+GB) =α+βMG+αGA+βGB αMA+βMB=α+βMG+0 ------------------------------------------------- MG=αα+βMA+βα+βMB * En prenant M=A AG=βα+βABCette relation permet de placer le point G, barycentre du système S. * Propriété : -------------------------------------------------