Relation de Chasles

𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ne sont pas coplanaires. Le point 𝐹 n’appartient pas au plan (𝐴𝐵𝐷). Exercice 2 : 4 pts a) Avec la relation de Chasles : 𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = − 3 4 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 3 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗

coefficient directeur 1 . 4 3) La droite (AB) a pour équation y = x + 2. 4) La droite d'équation y = 1) Faux . 2) Vrai . 3) Vrai . 4) –1 x + 4 est parallèle à la droite (BC). 2 Vrai . Exercice n°D page 198 : Relation de Chasles et sommes vectorielles Vrai ou faux ? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.       1) AE + AC = AG . 4) 2 AE + AC = NZ .       2) AE + BK = AK . 5) AM + NB = 0 

déduit : MG = (α)÷( α + β)MA + (β)÷(α + β)MB | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |Démonstration : | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |On sait que αGA + βGB = 0 | | | | | | | | | | | | | | |Donc, à l'aide de la relation de Chasles : α (GM + MA) + β(GM + MB) = 0 | | | | | | | | | |Donc : αGM + αMA + βGM + βMB =0 | | | | | | | | | | |Donc : (α + β)GM = -( αMA + βMB) | | | | | | | | | | | | | |Donc : ( α + β )MG = αMA + βMB | | | | | | | | | | | | | |On en déduit que

vecteursOn souhaite construire M' l'image de M par la translation de vecteur .Pour cela on cherche un représentant de qui a pour origine M, puis un représentant de qui a pour origine l'extrémité de ."on met les vecteurs bout à bout" 3) Relation de ChaslesPour tous points A, B, C du plan, on a : 4) Règle du parallélogrammeEtant donnés deux vecteurs et de même origine. On construit D tel que . D est le quatrième point du parallélogramme

et F sont les points définis par );CE)= );CD) et );AF) = );AE) a. Faire une figure b. Emettre une conjecture sur la position des points B, C et F à l’aide de votre figure et de celles de quelques camarades. c. Emettre une conjecture sur la relation entre les vecteurs );BF) et );BC) à l’aide du logiciel GeoGebra d. Démontrer ces conjectures. Fichier puis nouvelle fenêtre ; dans outils etiquetage cliquer sur automatique ou tous les nouveaux objets |a. Construire trois points A, B et C .

suivantes ® ® 1. G est le centre de gravité du triangle ABC si et seulement si AG = .... AI (I désigne le milieu de [BC]) ® 2. G est le centre de gravité du triangle ABC si et seulement si GA + ... + ... = ... Exercice 1 Relation de Chasles Simplifier au maximum les relations suivantes ® u = ® 2. v = 1. ® ® ® AC + BA + CB ® ® ® ® DE - DF + EF - ED Exercice 2 Parallélisme ® 1® 1. Placer le point E tel que AE = AB . 3 ® ® 2. Placer le point F tel que AF = 3 AC . 3. Démontrer que les droites (CE)

Formule de Willis. Pour un observateur situé sur le porte satellite 4, le train d’engrenage se comporte comme un train simple, on peut alors en écrire la raison de base rb : 1 3 e s r 4/3 4/1 b Z Z−=== ω ω ω ω par relation de Chasle sur les fréquences de rotation, on peut écrire : 0/40/14/00/14/1 ωωωωω −=+= , et 0/40/34/00/34/3 ωωωωω −=+= d’où la formule de Willis : 1 3 0/40/3 0/40/1 Z Z−= − − ωω ωω 3 2 4 1 Bras porte-satellite Satellite Planétaires Transmission

conditions de la première expérience, on suspend 2 Kg en A et 3 Kg en B. Donner la relation vectorielle qui caractérise le point G ; exprimer AG en fonction de AB et placer le point G en représentant le tout sur un schéma. b. Dans les conditions de la deuxième expérience, on suspend 2 Kg en A et 3 Kg en B. P A G B A B G Séquence 3 – MA12 5 © Cned – Académie en ligne Donner la relation vectorielle qui caractérise le point G ; exprimer AG en fonction de AB et placer le

trigonométrique C, on considère les points A et B tels que : ® ® ® ® 7p 3p ( OI , OA ) = et ( OI , OB ) = – 8 5 Déterminer la mesure principale des angles suivants : ® ® ® ® ® ® ( OA , OJ ) ; ( OJ , OB ) ; ( OB , OA ) (On pourra utiliser la relation de Chasles) B A J () p 2 ( ) 7p 8 I' O I (0) ( ) 3p 5 J' Exercices de trigonométrie Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice 12 r r Dans un repère orthonormé (O, i , j ), on considère les points A

symétrique.Démonstration On considère deux vecteurs non nuls. Propriété 2 (admise)On considère trois vecteurs et un réel On dit que le produit scalaire est bilinéaire. Exemple On considère un carré de côté .Déterminer (Relation de Chasles) Les vecteurs et sont orthogonaux, donc Et Donc Propriété 3On considère deux vecteurs quelconques du plan Démonstration On considère deux vecteurs quelconques du plan IV.