Relation de Chasles

: λf (t) + µg(t) dt = λ f (t) dt + µ g(t) dt I I I Remarque : L’ensemble des fonctions intégrables est un espace vectoriel, par contre, on 1 n’a pas de résultat sur les produits. En effet f (t) = g(t) = √t sur ]0, 1]. 4.15 Proposition : (Relation de Chasles) Soit f est intégrable sur I et sur J. Si I ∪ J est un intervalle et si |I ∩ J| ≤ 1, alors : f= I∪J I f+ J f 4.16 Proposition : (Inégalité triangulaire) Soit f est intégrable sur I. Alors |f | est intégrable sur I et on a : f ≤ I

. . . . . . . . . . . I.C Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.D Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.D.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.D.2 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.D.3 Intégrales et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.D.4 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . I.E Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

réels " a , a + h , a + 2h , ..., a + k.h , ..., a + n.h = b ". Sur chaque intervalle [ a + k.h ; a + (k+1).h], où k est un entier compris entre 0 et (n-1), l'intégrale de f sur intervalle peut être approximée par : ~ h. En utilisant la relation de Chasles pour l'intégrale f(x)dx, on écrit alors: + ...+ f(x)dx= D'où, en utilisant l'approximation de chacune des intégrales de cette somme, on obtient la formule d'approximation par la méthode des Trapèzes: . Majoration d’erreur : Soit

vecteurs u et v, on appelle somme du vecteur u et du vecteur v le vecteur, noté u+v, défini de la façon suivante: si A est un point quelconque du plan, B le point tel que AB=u et C le point tel que BC=v alors u+v=AC. L’égalité AB+BC=AC est appelée relation de CHASLES. 2. Propriétés Quels que soient les vecteurs u,v et w du plan: u+v=v+u Commutativité (u+v)+w=u+(v+w) Associativité u+0=0+u=u 0 élément neutre Tout vecteur u admet un opposé -u, ainsi si u=AB alors -u=-AB=BA u-v=u+(-v) III) MULTIPLICATION D’UN

E . On note  une mesure en degrés de l'angle ̂ . IEB Première partie : sans utilisation d'un repère. Dans cette partie, on pose AB= 4 cm et AD = 3 cm. 1. Calculer le produit scalaire ⃗ ⃗ en décomposant chaque vecteur à l'aide de la relation de Chasles. AI⋅DB 2. Calculer les distances AI et DB. 3. En déduire cos() ; puis une valeur approchée à 1° près de l'angle ̂ . IEB Deuxième partie : avec un repère Dans cette partie, on pose AB= a cm et AD= b cm, a et b désignant des réels strictement

Il existe une fonction F définie sur [a, b], dérivable sur I telle que F = f , alors b f (t)dt = F (b) − F (a). a 1 Ex : f : x → √ sur ]0, 1]. t Signalons pour commencer que l’on retrouve facilement les propriétés classiques (linéarité et Chasles) Proposition 1.2 Soient f et g deux fonctions continues par morceaux sur tout b b segment de ]a, b] alors si a b f (t)dt et a g(t)dt convergent alors ∀λ ∈ R, a f (t) + λg(t)dt converge et b b b f (t) + λg(t)dt = c a a

faire Afficher l[j] Fin tant que. Exercice 5 - Encadrement d’intégrale - L1/Math Sup/Master Enseignement 1. D’après la relation de Chasles, on sait que n−1 1 (k+1)/n f (t)dt = f (t)dt. k=0 k/n 0 Mais, puisque f est croissante, pour tout t ∈ k k+1 n, n (k+1)/n f (t) ≥ f (k/n) =⇒ (k+1)/n f (t)dt ≥ k/n , on a f (k/n)dt ≥ k/n 1 f (k/n). n Il suffit de sommer ces relations pour k allant de 1 à n pour trouver que Un ≤ La preuve est similaire pour Vn . http://www.bibmath.net 1 0 f (t)dt.

P . Lorsque P a pour coordonnées le couple (x, y), on note parfois P = P (x; y) ou bien P = P x y Lorsqu’il y a plusieurs points (ce qui arrive souvent...), on pourra noter xP et yP les coordonnées du point P . Rappelons que la relation de Chasles permet d’écrire : −→ AB = xB − xA yB − yA 1.2 Produit scalaire Définition I.3 → Le produit scalaire de deux vecteurs − u = − → → u .− v = a b . a′ b ′ a b → et − v = a′ b′ est le nombre

sur [a,b] : • Si f est toujours n´egative sur [a,b] : • Si f a un signe variable sur [a,b] : b a f (x)dx b a f (x)dx b a f (x)dx 1 = aire(D) (unit´es d’aire) = −aire(D) = aire(D1) − aire(D2) + aire(D3) 2 Propri´ etes des int´ egrale •Relation de chasle : Soit f une fonction d´efinie et continue sur un intervalle I. Pour tout r´eel a, b, et c de I : b a f (x)dx + c b f (x)dx = c a f (x)dx •Lin´earit´e de l’int´egrale : Soient f et g deux fonctions d´efinies et continues sur un intervalle

+ ADDITION DE DEUX VECTEURS → → → soient u et → v deux vecteurs. → la somme de u et de v peut être représentée de deux façons : « bout à bout » → → → → = AB → et v → = BC→ → si u → alors u + v = AB + BC = AC (relation de Chasles) u → v « à→ l’aide→ d’un parallélogramme » → → si u → = OM→ et v → = ON→ → alors u + v = OM + ON = OR où OMRN est un parallélogramme. → → Le vecteur nul noté 0→est le vecteur AA, pour tout→ point→ A. → →