Relation de Chasles

4 12 12 12 23π tan( 12 ). Placer les points correspondants sur un cercle trigonom´ trique. e Exercice 2: Angles (30mn) a) Rappeler la relation liant (u, v) et (u, −v), pour tous vecteurs u et v non nuls. Faire un dessin. b) Soit ABCD un quadrilat` re quelconque. Montrer que (AB, AD) + (DA, DC) + (CD, CB) + ( BC, BA) = 0 + 2πZ. e Indication : utiliser la relation pr´ c´ dente pour chaque angle de la somme. e e c) Dans le quadrilat` re ci-dessous, calculer l’angle (AD, AC). e A D B C Exercice

JJJG b) FAUX CA ⋅ OB = 0 car O étant le centre de gravité du triangle équilatéral, il est aussi centre du cercle circonscrit au triangle, donc (BO) est la hauteur issue de B dans le triangle, donc est orthogonale à (AC) c) VRAI En utilisant la relation de Chasles, la distributivité du produit scalaire, et la question précédente, on obtient JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG CA ⋅ CB = CA ⋅ CO + OB = CA ⋅ CO + CA ⋅ OB    ( ) Question 3 0 G G G a) FAUX on a l’équivalence u 2 = v 2

d’après le théorème des milieux, la droite ( JK ) , passant par les milieux des côtés [ IA ] et [ IB ], est parallèle à la droite ( AB ). 1 On a aussi, KJ = -- BA et KJ et BA ont même sens. On en déduit que 2 1 KJ = -- BA . 2 • D’après la relation de Chasles, IJ = IK + KJ . 1 1 Par conséquent, IJ = -- BA + -- DB , ce qui entraîne que J est l’image de 2 4 1 1 I par la translation de vecteur -- BA + -- DB. 2 4 La proposition d) est la bonne réponse. m 3. Étudier et caractériser un ensemble de points

Sur chaque intervalle [ a + k.h ; a + (k+1).h], où k est un entier compris entre 0 et (n-1), l'intégrale de f sur intervalle peut être approximée par : Prenons comme exemple, h=0,25, c'est à dire n = 4. et comme pas ~ h. En utilisant la relation de Chasles pour l'intégrale f(x)dx, on écrit alors: + ...+ f(x)dx= L'approximation par la méthode des trapèzes est : 0,34375 On peut la comparer avec la valeur exacte qui est 0,33333...... D'où, en utilisant l'approximation de chacune des intégrales

la translation de vecteur !# u et celle de vecteur !# v , on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le vecteur qui lui est associé est appelé somme des vecteurs!# u et !# v et est noté !# u +!# v . Propriété (Relation de Chasles). !!# AB +!!# BC =!!# AC . Exemple d’utilisation. !!# B A !!!# C A =!!# B A +!!# AC =!!# BC . Propriété (Règle du parallélogramme). ABDC est un pa- rallélogramme, si et seulement si : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convention

l’aire (en unité d’aire) du domaine délimité par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b. L’intégrale de f sur [a ;b], notée f(x)dx, est l’aire sous la courbe C sur l’intervalle [a ;b]. Exemples : (p.138) Relation de Chasles : Conservation de l’ordre : Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a ;b], telles que: f(x) <=g(x) sur [a ;b]. Alors : Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalle [a ;b], la fonction F définie sur [a ;b] par

calaire dans l'espace Correction du DM Ch4 : Géométrie - Produit scalaire dans l’espace Exercice 1 (6 points) [pic] 1) a) Calculer les produit scalaires : [pic] et [pic]. Par Chasles [pic] (AD) est perpendiculaire au plan (CDH) d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic] Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic]. Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1 Finalement [pic]= 0. (0,75 pt) De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt)

SELECT prixmenu FROM menu WHERE prixmenu NOT IN (select max(prixmenu) from menu); Partie C – Requêtes actions 1. Un nouveau cuisinier a été embauché aujourd’hui : Joseph CHASLES, il travaille dans la cuisine n° 1 (vérifiez la date d’embauche après avoir exécuté la requête). INSERT INTO cuisinier VALUES (8, "CHASLES", #10/08/2003#, 1); Si la date est : 08/10/2003 2. Un nouveau client doit être saisi : n°8 – DELAMARRE André. On ne connaît pas son adresse. INSERT INTO CLIENT VALUES (8

Vecteurs : exercices Les réponses (non détaillées) aux questions sont disponibles à la fin du document Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes en utilisant la relation de Chasles : − − − → → → 1) AB − AC − CB − → − − → → − → 2) BC − BA + BD − BC − − − → → → − → 3) AB − AC + BC − BA − → − → − → 4) AC + 2CB + BA − − → → − → 5) 2AB − BC − CA Exercice 2 : Développer et simplifier les expressions suivantes : 1− − − − 1)→ − 2 (→ + →) − → u u v v 3 2− − 1 − − 2) − → + → − (→ − →) u u u v

une matrice de format (n, p) et B une matrice de format (p, q) la matrice produit AB est la matrice de format (n, q) définie par p A (i, k) B (k, j) pour tout (i, j) ∈ [|1, n|] × [|1, q|] (AB) (i, j) = k=1 REM 0 : remarquer l’espèce de ”relation de Chasles” : format (n, p) × format (p, q) = format (n, q) 3 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : MATRICES COURS MPSI R. FERREOL 11/12 REM 1 : il est pratique de présenter le produit de 2 matrices sous la forme : F1 REM 2 : le produit matriciel n’est donc pas