Relation de Chasles

vecteur translation de vecteur On dit que le vecteur On note : ( cette relation est appelée « relation de Chasles ») Construction de la somme de deux vecteurs : est la translation de vecteur est la somme des vecteurs . et . suivie de la On utilise la méthode du >, C‘est à dire qu‘on représente le vecteur obtient le vecteur et a son extrémité on ajoute le vecteur et on qui est égal au vecteur (d‘après la relation de Chasles). L‘extrémité de l‘un est aussi l‘origine de l‘autre . IV.

) dt se calcule en comptant positivement l'aire des domaines où ¦ est positive et a négativement l'aire des domaines où ¦ est négative. (1) Le lecteur consciencieux pourra vérifier que ¦+ + ¦- = ¦ et ¦+ - ¦- = |¦|. Il en déduira les relations ¦+ = ¦+ ¦ et ¦- = ¦- ¦ . Ensuite, 2 2 comme ¦ est supposée continue (ou continue par morceaux), l'application |¦| l'est également (par composition) ; et comme la somme (et la ¦+ ¦ ¦- ¦ différence) de fonctions continues (ou continues

a+b+c AC. Tout barycentre de trois points (non-align´s) est situ´ dans le plan d´fini par e e e ceux-ci. La r´ciproque est vraie. Lorsque l’on a a > 0, b > 0 et c > 0, alors e G est ` l’int´rieur du triangle ABC. a e La propri´t´ 1 d´coule de la relation de Chasles, appliqu´e dans la d´finition e e e e e du barycentre. C’est cette propri´t´ qui permet de construire le barycentre de deux ou trois ee points. Propri´t´ 2 (Condensation, r´duction) Pour a + b = 0, G est le barye e e centre de (A ; a) et (B ;

2 = – sin x + sin x – cos x + sin x = sin x – cos x. π π b) sin x – – cos(x + π) + cos x – – sin(x – π) 2 2 = – cos x + cos x + sin x + sin x = 2 sin x. ΂ ΃ ΂ ΂ ΂ ΃ ΃ ΃ ΂ ΃ Ά · 12 1. D’après la relation de Chasles : Ά ΂ EBA, ECB΃ = ΂ EBA, EAC΃ + ΂ EAC, ECB΃. Or : ΂ EBA, EAC΃ = ΂ EAB, EAC΃ + π et ΂ EAC, ECB΃ = ΂ ECA, ECB΃ + π ; donc : ΂ EBA, ECB΃ = ΂ EAB, EAC΃ + ΂ ECA, ECB΃ + 2π ou ΂ EBA, ECB΃ = ΂ EAB, EAC΃ + ΂ ECA, ECB΃. π π 7π 2. ΂ EBA, ECB΃

vérifie une condition que l’on déterminera. Calculer , la distance séparant ces deux positions. - Montrer que est une fonction affine de . On a : D’où : On a par construction D’autre part, en utilisant la relation de conjugaison avec origine au centre : On supprime On a bien une relation affine de type , , En déduire une méthode expérimentale permettant de mesurer avec précision et rédiger un protocole. - Placer l’objet et l’écran à une distance que l’on notera l’un de l’autre. Faire varier

a donc pour coordonnées 5.a. Avec coordonnées : On calcule les coordonnées des deux vecteurs et on vérifie qu’ils ont les mêmes coordonnées. donc De même, on trouve On constate que donc = Sans coordonnées : par définition de E. Or par la relation de Chasles 5.b. On peut déduire de l’égalité segment [CE]. Math'x seconde © Éditions Didier 2010 On utilise la Méthode méthode décrite dans l’exercice résolu 5, page 319. que B est le milieu du Conseil On contrôle sur le graphique la cohérence des

u⃗ = AB u et ⃗v sont orthogonaux signifie que les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires. Dire que ⃗ u ; ⃗v )=± π [mod 2 π] u et ⃗v non nuls sont orthogonaux SSI ( ⃗ Théorème : Deux vecteurs ⃗ 2 u ; ⃗v )+ ( ⃗v ; w u , ⃗v et w Théorème (Relation de Chasles) : Pour tous vecteurs ⃗ ⃗ )=( ⃗u ; w ⃗) ⃗ non nuls, ( ⃗ u et ⃗v non nuls, Corollaire : Pour tous vecteurs ⃗ u )=−( ⃗ u ;⃗ v) u ;−⃗ v )=(⃗ u ; ⃗v )+ π=(−⃗ u ;⃗ v) • ( ⃗v ; ⃗ • (⃗ u ;−⃗v )=−( ⃗ u ; ⃗v ) • (−⃗ Démonstration : En exercice V. Trigonométrie

| |( cette relation est appelée « relation de Chasles ») | Construction de la somme de deux vecteurs : On utilise la méthode du >, C‘est à dire qu‘on représente le vecteur [pic]et a son extrémité on ajoute le vecteur  et on obtient le vecteur [pic]+  qui est égal au vecteur  (d‘après la relation de Chasles). L‘extrémité de l‘un est aussi l‘origine de l‘autre .

10 juillet 2014 Enoncés Suites d’intégrales impropres 1 b) Calculer, pour n ∈ N , π/2 Exercice 1 On pose [ 00682 ] [correction] 0 +∞ Jn = 0 (on procédera par récurrence) c) En déduire dx (1 + x3 )n+1 +∞ a) Calculer J0 . b) Former une relation de récurrence engageant Jn et Jn+1 . c) Etablir qu’il existe A > 0 tel que 0 π/2 ln(2 sin(t/2)) cos(nt) dt 0 Exercice 4 On pose +∞ un = 0 0 n t − [t] 1 dt = t(t + n) n 0 [ 03584 ] [correction] +∞ t − [t] dt t(t + n) où [t] représente

a donc pour coordonnées 5.a. Avec coordonnées : On calcule les coordonnées des deux vecteurs et on vérifie qu’ils ont les mêmes coordonnées. donc De même, on trouve On constate que donc = Sans coordonnées : par définition de E. Or par la relation de Chasles 5.b. On peut déduire de l’égalité segment [CE]. Math'x seconde © Éditions Didier 2010 On utilise la Méthode méthode décrite dans l’exercice résolu 5, page 319. que B est le milieu du Conseil On contrôle sur le graphique la cohérence des