33. Barycentre
Point pondéré
(Ai;αi) avec Ai point αi nombre réel est un point pondéré (affecté de la masse αi) * S=A1;α1;…;An;αn avec n2 est le système de points pondérés. * m=i=1nαi=α1+…+αn est la masse du système.
Barycentre de 2 points * Soit S=A;α;(B;β) système de masse non nulle + * Le barycentre G de S est l’unique point G tel que αGA+ βGB=0
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G=Bar A;α;B;β⟺αGA+βGB=0 m=α+β est la masse affectée à G.du barycentre.
Propriété : * Commutativité :
Bar A;α;(B;β)⟺Bar B;β;(A;α)
Preuve
αGA+βGB=0⟺βGB+αGA=0 * Homogénéité :
Pour tout K R* (K)
Bar A;α;(B;β)=Bar A;α × k;(B;β ×k)
Propriété fondamentale :
(A et B 2 points et et ß deux réels quelconques)

« Calcul de αMA+βMB=αMA+βMB pour tout point M » * Si += () αMA+βMB=αMA+βMB =-βMA+βMB
=+βAM+βMB
=β(MA+MB) αMA+βMB=βAB (Chasles) * Si +
On pose G=Bar A;α;(B;β) αMA+βMB=αMG+GA+β(MG+GB) =α+βMG+αGA+βGB αMA+βMB=α+βMG+0 -------------------------------------------------
MG=αα+βMA+βα+βMB
* En prenant M=A AG=βα+βABCette relation permet de placer le point G, barycentre du système S. * Propriété :
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Si G=Bar A;α;(B;β)
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Alors A, B et G sont alignésAG et AB sont colinéaires Remarque : Si et sont de même signes, alors G AB * En prenant M=B BG=αα+βBA * En M=0 dans un repère (0;i;j)
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0G=αα+β0A+βα+β0B Conséquence : GαxA+βxBα+βαyA+βyBα+β Définition : Si () G est l’isobarycentre de A et de B. G=Bar A;α;(B;β)⟺G=Bar A;1;(B;1)Homogénéité avec K =1α ⟺AG=12AB G milieu de AB On retrouve les coordonnées du milieu I d’un segment AB avec et +=2 Ixa+xb2ya+yb2 * En prenant M=G GG=αα+βGA+βα+βGB 0=αα+βGA+βα+βGB 0=αGA+βGB Homogénéité avec K =α+βOn retrouve la définition * Propriété : G=Bar A;α;(B;β)