Quadrilatère

x−1 , en noir. Exercice 2 (10 points) On considère trois points A(3 ; 2), B(1 ; 4) et C(5 ; 6) dans un repère orthonormé (O,I,J) du plan. 1. Donner la nature du triangle ABC. 2. Déterminer les coordonnées d'un quatrième point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. 3. Déterminer l'équation de la droite (d), parallèle à la droite (AC), passant par B. 4. On considère trois autres points E(10 ; 23), F(-5 ; -22) et G(1 ; -4). Ces trois points sont-ils alignés ? Justifier votre

les dimensions d'un agrandissement de rapport 2,5 du triangle PAS tel que  = 100°,  = 50° et PA = 3 cm. APS SAP 8 Soit un rectangle BLEU de longueur 5 cm et de largeur 4 cm. Soit ROSE une 3 réduction de BLEU de rapport . Quelle est la nature du quadrilatère ROSE ? Justifie 5 ta réponse puis contruis ROSE. TRIANGLES ET PARALLÈLES – CHAPITRE G2 

® ® 1. Construire le point M tel que IM = IA + ID et le point N tel que IN = IB + IC . ® ® ® 2. Démontrer que IM + IN = 0 . Que peut-on en déduire ? ® ® ® ® 3. Justifier les deux égalités suivantes : BN = IC et IC = AI . En déduire la nature du quadrilatère ABNI. Exercice 12 Soit ABC un triangle. ® 1® 1. Placer le point E tel que AE = AB . 3 ® ® 2. Placer le point F tel que AF = 3 AC . 3. Démontrer que les droites (CE) et (FB) sont parallèles. Exercice 13 Soit PQR un triangle de centre de gravité

et on sait que l’image du cercle de rayon 2 de centre A est le cercle de centre B et de même rayon 2 ,c’est-à-dire ’. z +z 1 + i ( 3+2) b) zI = A B = 2 2 c) C , donc AC = 2 et C ’ donc BC = 2 ; or on sait depuis le 1)c) que OA = 2 = OB, donc le quadrilatère OABC est un losange. d) Les diagonales du losange OABC se coupent en leur milieu donc I, milieu de [AB] est aussi le milieu de [OC]. z +z zC 1 + i( 3 + 2) Ainsi O C = zI = zC = 1 + i( 3 + 2). 2 2 2 a) AD = zD –zA = 2i 3 – 1 – i 3 = –1 + i 3 = 2

centre, rayon, triangle, losange, cercle. Attention : utilise chaque terme une seule fois. Le ………………………………..…….. est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et égaux deux à deux ……………………………….. sont et les 4 angles son droits. Le ………………………………..…….. est un rectangle particulier dont les 4 côtés sont égaux. ……………………………….. Le ………………………………..…….. est un quadrilatère dont les 4 côtés sont égaux. ……………………………….. Le ………………………………..…….. est une ligne courbe dont chaque point est à égale

EB   et BC   donc : 6 − xE = −4 et 2 − yE = 2  2  2 − yE  − xE = −4 − 6 − xE = −10 xE = 10 10  E  0 4. AB = BD donc B est le milieu de [AD]. B est le milieu de [AD] et B est le milieu de [EC] donc ACDE est un parallélogramme. (Un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme) ACDE est un parallélogramme et AB N BC donc : ACDE est un losange. (Un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange). − yE = 2 − 2 − yE = 0 yE

forme circulaire. Ce problème, d'apparence anodin, fait appel à des théories sophistiquées pour obtenir une démonstration rigoureuse. On simplifie parfois le problème isopérimétrique en limitant les surfaces autorisées. Par exemple on cherche le quadrilatère ou le triangle d'aire la plus vaste possible, toujours pour un périmètre donné. Les solutions respectives sont le carré et le triangle équilatéral. De manière générale, le polygone à n sommets ayant la plus grande surface, à périmètre donné, est

irréductible. 3. On a vu que PGCD(6 209; 4 435) = 887, donc : Fiche issue de http://www.ilemaths.net 8 sujet du brevet 2005 II. Activités Géométriques (12 points) exercice 1 1. a) Comme ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle, alors le quadrilatère AEFB est un rectangle. Les droites (AE) et (AB) sont donc peprpendiculaires. 1. b) Les droites (EH) et (AB) ne sont pas contenues dans un même plan. Elles ne sont donc pas sécantes. 2. a) Calculons EG : Comme EFGH est un rectangle, alors le triangle

(P’))= . On en déduit : d(A ; (P))= 6 3 Notons H et H’ les projetés orthogonaux de A sur (P) et sur (P’). Comme les deux plans (P) et (P’) sont orthogonaux, le projeté orthogonal de H sur (P’) est cofondu avec le projeté orthogonal de H’ sur (P). Le quadrilatère AHDH’ est donc un rectangle. Soit δ la distance entre A et (d). δ est la longueur de la diagonale de ce rectangle. On applique le théorème de Pythagore : δ2 = 2 2 2 2 2 4 + = + = 2. D’où δ = 2. 3 3 6 3 E XERCICE 2 3 points 1. Restitution organisée

est le symétrique de I par rapport à J, on peut affirmer que . . . est le milieu de [. . . . . . ]. D’autre part, d’après l’énoncé, . . . est également le milieu de [. . . . . . ]. Le quadrilatère AKCI a donc ses diagonales ([. . . . . . ] et [. . . . . . ]) qui se coupent en leur milieu (. . . ). Le quadrilatère AKCI est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et de même . . .