Terminale S Correction du Bac Blanc 2010 Exercice 1 : 1) 1 3 + i ) = 2ei /3 ; zB = 2i = 2ei /2 2 2 b) Placement des points A et B. c) zA = 2 donc OA = 2 ; zB = 2 donc OB = 2 ; ainsi OA=OB et le triangle OAB est isocèle en O ; a) zA = 1 + i 3 = 2( AB= zB – zA = 1 + i( 3 –2) = 12 + ( 3 –2)2 = 8 – 4 3 donc le triangle OAB n’est ni équilatéral ni rectangle. 2) a) zB = 2ei /2/2ei zA
/3

= ei(

/2 – /3)

= ei

/6

donc arg (

zB ) = [2 ] et ( OA ; OB ) = [2 ]. zA 6 6 6 [2 ]

b) r (O) = O et r (A) = B, donc l’angle de la rotation est ( OA ; OB ) = L’écriture complexe de r est z’= e 3) i /6

z.

a) On sait que r (A) = B et on sait que l’image du cercle de rayon 2 de centre A est le cercle de centre B et de même rayon 2 ,c’est-à-dire ’. z +z 1 + i ( 3+2) b) zI = A B = 2 2 c) C , donc AC = 2 et C ’ donc BC = 2 ; or on sait depuis le 1)c) que OA = 2 = OB, donc le quadrilatère OABC est un losange. d) Les diagonales du losange OABC se coupent en leur milieu donc I, milieu de [AB] est aussi le milieu de [OC]. z +z zC 1 + i( 3 + 2) Ainsi O C = zI = zC = 1 + i( 3 + 2). 2 2 2 a) AD = zD –zA = 2i 3 – 1 – i 3 = –1 + i 3 = 2 donc D , or zD est imaginaire pur donc D (Oy) ; ainsi D = (Oy). b) D , donc son image D’ ’. D’ = r (D), donc OD’ = OD, donc on trace le cercle de centre O passant par D : D’ 1 3 est le point d’intersection de ’ et de ce cercle. On a : zD’ = 2 3( – + i )= – 3 + 3i . 2 2

4)

5) DC (1 + (2– 3)i ) et DD’ ( – 3 +(3 – 2 3)i ). Or – 3z DC = – 3(1 + (2– 3)i) = – 3 – 3(2– 3)i = – 3 +(3 – 2 3)i = z DD’ . donc DD’ = – 3 DC et les vecteurs DD’ et DC sont colinéaires.

Exercice 2 : Partie A : 1. a Partie B : Soit n un entier naturel.

2. d

3. c

4. b

ln un

vn

ln e

vn

1 ln e v n v ln e v n e v vn

1

ln 1 e v n . v Or pour tout entier naturel n, e n > 0, donc 1+ e n > 1, donc ln(1 + e n ) > ln(1) = 0 car ln est strictement croissante sur ]0 ; + [. Ainsi, pour tout entier naturel n, ln(un) + vn > 0. Exercice 3 :