On Considère La Fonction F Définie Par Tout Réel X F X X²e X 1 X² 2

Christophe ROLAND Professeur de mathématiques au lycée Pasteur de Hénin-Beaumont éric SIGWARD Suivi éditorial : Jean-Michel Rêve Maquette : Nicolas Balbo Mise en page : Catherine Vielcanet Infographies : Domino HATIER, PARIS, 2012 ISBN 978-2-218-95400-9 Sous réserve des exceptions légales, toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle, faite, par quelque procédé que ce soit, sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit, est illicite et constitue une contrefaçon sanctionnée

réels non nuls vérifiant un+1 →0 un Déterminer la limite de (un ). avec < . 1 Suites numériques Convergence d’une suite numérique Exercice 1 [ 02247 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . et Calculs de limites Exercice 9 [ 02254 ] [correction] Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes : √ √ n n a) un = 3n −(−2)n b) un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1 3 +(−2) c) un = n ∈ N, un a et vn

Pour aller plus loin dans la théorie des fonction holomorphes d’une variable complexe, le lecteur pourra consulter les ouvrages cités dans le bibliographie. Les exercices en fin de chapitre correspondent aux listes d’exercices distribuées par A. Yger au cours de l’année universitaire 2010-2011. iii Table des matières Préface CHAPITRE I. Formes différentielles, homotopie I.1. Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . I.2. Intégration des 1-formes différentielles . . . . . . I.2.1.

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

FONCTIONS I- généralités Définition : Une fonction numérique est un outil mathématique qui à tout réel x associe AU PLUS un réel y noté f(x). Quand f(x) existe, f(x) est L’IMAGE de x par f, et x est UN ANTECEDENT de y par f. Exemple : f ( x) = x f(x) x² + 3 . Compléter le tableau suivant : x −1 -2 -1 0 1 2 3 5 x f(x) -2 −7 3 -1 -2 0 -3 1 /// 2 7 3 6 5 7 On constate que 1 n’a pas d’image. On constate que f(2) = 7. Ainsi, L’image de 2 est 7, et 2 est UN antécédent de

ordre ; primitives et intégrales. Exercice n°1 : © Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte. 1) On a représenté une expérience aléatoire par l’arbre de probabilité ci – dessous : B 0.3 A B B A 0.8 B Sachant que p(B) = 0.41 alors P(B|A) = : (a) 0,3. (b) 0,9. (c) 0,6. rr 2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé O, i, j . (C) est la courbe représentative de la ( ) fonction f définie par f(x) = 1 + ln x . On fait tourner autour de l’axe des abscisses

usuelles 1 Variables aléatoires Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire muni de la probabilité P . Définition 1.1 (Variable aléatoire) Une variable aléatoire définie sur Ω associe à chaque issue, une valeur numérique. Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de Ω dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu’obtenir pile rapporte 1 e, alors qu’obtenir face fait perdre 1 e. On définit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et X(face)

D'ORDRE GENERAL DUREE : 4 HEURES Les candidats devront traiter au choix, l’un des trois sujets suivants : SUJET n° 1 Un écrivain écrit à propos de l’immigration ceci : «L’immigration quelle que soit sa couleur et sa saveur, est une injection de vie, d’énergie et de culture et que les pays devraient la recevoir comme une bénédiction». Appréciez cette affirmation. SUJET n° 2 Le développement rapide du nombre d’abonnés à INTERNET dans le monde et en particulier en Afrique aura-t-il des conséquences

DS n°2 I1 MATHEMATIQUES EXERCICE 1 1. 2   1  4  1  3i   5  12i . Soit  une racine carrée de  et  x, y   2 tel que   x  iy donc tel que  x  iy   5  12i . De plus   25  144  13  x2  y2  5 2 x2  18  x  3 x  3  x  3    2 . Donc 3  2i et 3  2i sont les racines carrées de .     2 xy  12   xy  6   xy  6   ou  y  2  y  2  2  2  y  2 2   x  y  13 2 y  8 On considère   3  2i . Les solutions de l’équation z2  z  1  3i 

l'ensemble des fonctions réelles Montrez que l'ensemble des fonctions réelles munie des lois + et * un un espace vectoriel je rappelle les deux lois : (f+g)(x)=f(x)+g(x) et (k*g)(x)=k*g(x), ceci et SEV dans l'ensemble des fonctions réelles Sous espace vectoriel : Dans l'espace de toutes les fonctions définies sur à valeurs réelles, muni des lois usuelles, étudier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels : ,,, ,, ,,. SEV dans l'ensemble des suites On considère l'espace vectoriel