On Considère La Fonction F Définie Sur R Par F X X² E X 1 X² 2

B2 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Nouvelle-Calédonie octobre 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 A. P. M. E. P. Brevet de technicien supérieur Groupe B 2 12 mai 2010 Brevet de technicien supérieur Groupement B - session 2001 Exercice 1 9 points Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires

deux classes de problèmes : • Problème I : « étant donnée la relation des quantités fluentes (y et x), trouver la relation de leurs fluxions ( ◦ x = d x et ◦ y = d y) », il s’agit d’un problème de dérivation en langage moderne. • Problème II : « Étant donnée la relation des fluxions, trouver celle des quantités fluentes ». La relation des fluxions, est une relation faisant intervenir des fonctions et leurs dérivées, autrement dit, une équation différentielle en langage moderne. Par exemple il peut

est une fonction dérivable sur un intervalle de R. Elle fait intervenir la fonction-inconnue notée y, ses dérivées successives notées y ′ , y ′′ , · · · et des fonctions connues. Par exemple, considérons l’équation différentielle (E) : y ′′ − 2y ′ + y = x2 1. Montrez que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 + 4x + 6 est une solution de (E). 2. Montrez que f est la seule fonction polynômiale du second degré solution de (E). 3. Montrez que la fonction g définie sur R par g(x) = (2x − 5)e x + x2 +

intégral 1. Calculer les intégrales suivantes (on précisera éventuellement l'intervalle de validité) : 1°) ∫ π 3 5°) ∫ 6 9°) ∫ an 0 a xdx 2 2 3 2°) x2 +1 sin 3u du 6°) dx x ln x ( 81 − ∫ 0 ∫e 2 ∫ t. exp(− t 2 )dt e2 1 1 e x n −1 1 7°) ∫ 01+ ( x 3 + 1) ln(x )dx 1 ∫1 ( x − x + x 2 )dx 3°) ln t dt t e 10°) ) −2 11°) 1 ∫ 0 x dx ( n ∈ N * ) n ( x 2 + x + 1)e −

Exercice 1. En quatre versions Version 1 Considérer la fonction f : R2 → R donnée par f(x, y) = x2 + y4 − xy − 1 et l’ensemble E := {(x, y) : f(x, y) = 0}. Au voisinage du point (1, 0) peut-on appliquer le théorème des fonctions implicites pour écrire l’ensemble E comme le graphe d’une fonction C1 ? — oui, pour avoir un graphe du type y = φ(x) mais pas x = φ(y) — oui, pour avoir un graphe du type x = φ(y) mais pas y = φ(x) — oui, tant pour avoir un graphe du type y = φ(x) que du type x = φ(y) (BONNE)

indépendants. 1/8EXERCICE 1 Endomorphisme cyclique Présentation générale Dans cet exercice, nous allons étudier la notion d’endomorphisme cyclique dont la définition est donnée ci-dessous. Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie n ∈ N∗. On rappelle que pour tout entier p ∈ N∗, on note : f 0 = IdE , f 1 = f , f 2 = f ◦ f , f p = f ◦ · · · ◦ f���������������� p fois . On dit que l’endomorphisme f est cyclique s’il existe un vecteur v ∈ E tel que la famille ( v, f (v), . . . , f n−1(v)

Tapuscrit : Denis Vergès : Denis.Verges@wanadoo.fr Baccalauréat S L’intégrale 2000 2 Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 1999 4,5 points E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Dans tout l’exercice on considère 20 boules indiscernables au toucher (10 noires et 10 blanches) et deux urnes A et B dans chacune desquelles on placera 10 boules suivant un mode qui sera précisé dans chaque question. 1. On choisit dix boules au hasard et on les met dans l’urne A. On place les dix autres boules

Exercice 1 : 5 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte. Recopier sur la copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci. AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point. 1. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = ( x2 −2x −1 ) ex . A. La fonction dérivée de f est la fonction définie

d’une fonction en un point • Calculer la dérivée d’une fo, d’une composée, de la réciproque en cas d’existence • Utiliser les « grands » théorèmes de dérivation (Rolle, AF, IAF, prolongemt dérivée) • Manipuler la fonction arc tangente Exercice no 1 Soit f la fonction définie sur ]− 1; 0[∪]0; 1[ par f(x) = |x| x ln (1− |x|) 1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. 2) Prouver que f est dérivable en 0. Exercice no 2 On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par : f(x) = x2 ln(x). Montrer

Chapitre 6 Fonction exponentielle Sommaire 6.1 Définition et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2 Théorème fondamental et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2.1 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2.2 Nouvelle notation de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . .