CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

2.1 Séries entières
Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :  
∞ n=0

qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :

    n an x converge  

xn . n! n=0 xn Posons fn (x) = et appliquons le critère de D’Alembert ; n! fn+1 (x) x lim = lim = 0. La série entière est absolument convergente pour tout x ∈ R ; n−→∞ n−→∞ n + 1 fn (x) donc ∆ = R. ∞ xn Exemple 2 : . n2 n=1 fn+1 (x) xn n 2 Posons fn (x) = 2 on a : lim = lim x = |x|. n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) Si |x| < 1, la série est absolument convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. ∞ |x|n 1 xn on a fn (x) = 2 = 2 · La série est alors absolument convergente dans [−1, 1] ; et alors n n n2 n=0 ∆ = [−1, 1] 21

∞

SÉRIES ENTIÈRES
∞ n=0

Exemple 3 :

n!xn . fn+1 (x) = lim |(n + 1)x| et la limite n’existe que n−→∞ fn (x)

Cette série ne converge que si x = 0 car lim

n−→∞

si x = 0 : d’où : ∆ = {0}. ∞ xn Exemple 4 : . n n=1 fn+1 (x) xn n Posons fn (x) = on a lim = lim x = |x|. Si |x| < 1, la série est absolument n−→∞ n−→∞ n + 1 n fn (x) convergente et si |x| > 1 la série diverge. Etudions le cas où |x| = 1. 1 x = 1 : c’est la série harmonique , elle est divergente. n (−1)n x = −1 : c’est la série harmonique alternée , elle est convergente. n D’où : ∆ = [−1, 1[.

Lemme 2.1.1 (Lemme d’Abel) Soit an xn une série entière. On suppose qu’il existe x0 ∈ R tel que la suite (an xn )n soit bornée. Alors : 0 1. La série 2. La série |x0 |. an xn est absolument convergente pour |x| < |x0 |. an xn est normalement convergente pour |x| < r pour tout 0 < r <

Preuve. La suite (an xn )n est bornée, il existe M > 0 tel que ∀n ∈ N |an xn | ≤ M . 0 0 1.) Pour |x| <