[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 22 octobre 2012

Enoncés Exercice 8 [ 03497 ] [correction] Soit (un ) une suite de réels non nuls vérifiant un+1 →0 un Déterminer la limite de (un ). avec < .

1

Suites numériques
Convergence d’une suite numérique
Exercice 1 [ 02247 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . et

Calculs de limites
Exercice 9 [ 02254 ] [correction] Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes : √ √ n n a) un = 3n −(−2)n b) un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1 3 +(−2) c) un = n ∈ N, un a et vn b un + vn → a + b Exercice 10 [ 02255 ] [correction] Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : √ n 1 n a) un = 1 + n b) un = n2
1 c) un = sin n 1/n √ n−√n2 +1 d) n+ n2 −1

Exercice 2 [ 02248 ] [correction] Montrer que (un ) ∈ ZN converge si, et seulement si, (un ) est stationnaire. Exercice 3 [correction]

[ 02249 ]

un =

1 n2

n

k k=1 Soit (a, b) ∈ R2 , (un ) et (vn ) deux suites telles que : Montrer que un → a et vn → b.

Exercice 4 [ 02250 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que (un + vn ) et (un − vn ) convergent. Montrer que (un ) et (vn ) convergent. Exercice 5 [ 02251 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites convergentes. Etudier lim max(un , vn ). n→+∞ d) un =

n−1 n+1

n

Exercice 11 [ 02256 ] [correction] Déterminer par comparaison, la limite des suites (un ) suivantes : sin n n! a) un = n+(−1)n+1 b) un = nn c) un = n−(−1)n n+(−1)n d) n un =

en nn

Exercice 6 [ 02252 ] [correction] Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que
2 u2 + un vn + vn → 0 n

e) un =

2 + (−1)n

Démontrer que les suites (un ) et (vn ) convergent vers 0. Exercice 7 [ 02253 ] [correction] Soient (un ) et (vn ) deux suites telles que 0 Que dire de ces suites ? un 1, 0 vn 1 et un vn → 1

Exercice 12 [ 02257 ] [correction] Déterminer les limites