Géométrie non euclidienne

des ´l´ments pris en compte dans la notation. Les repr´sentations graphiques et les dessins ee e correctement ex´cut´s seront appr´ci´s. e e e e Dans tout le probl`me, En d´signe un espace vectoriel euclidien orient´ de dimension n ≥ 1, muni du e e e produit scalaire not´ (x|y). La norme euclidienne associ´e est not´e ||x|| = (x, x). e e e e On note L(En ) l’ensemble des endomorphismes de En , S(En ) l’ensemble des endomorphismes sym´triques de En , O(En ) son groupe orthogonal et GL(En ) l’ensemble

Géométrie   L'histoire de la géométrie a commencé il y a plus de 6000 ans. Depuis, la géométrie a évolué, et nous a fait évoluer avec elle. Il y a à peu près 2300 ans, Euclide (–330 ; –270) un géomètre grec, écrivait un traité de géométrie en treize volumes : les Eléments. Ce traité est considéré comme l'œuvre qui a eu la plus grande influence sur l'esprit humain, après la Bible. Il y a eu plus de mille éditions des Eléments depuis l'invention de l'imprimerie. Les six premiers volumes traitent

106 Exercice 3 : 3 pts Compléter ce tableau : × 7 −4 9x −6x −72 x −54 x² 2 −5x Exercice 4 : Développer et réduire l’ expression suivante puis calculer sa valeur pour x= (4 pts) E = 3 (5- 2x) – (2x +1- x²) + (x +5) ( 2x -1) 1 2 Partie Géométrie (12pts) Exercice1 : (7pts) 1. Tracer un segment [AB] tel que AB = 6 cm. On note M le milieu du segment [AB] et (d) la médiatrice de ce segment. (0,5 pt) C le cercle de centre B et de rayon 3 cm. Que représente la droite (d) pour le cercle . (1 pt)

Série N:5 Somme de deux vecteurs - Vecteurs colinéaires 2010 /2011 Lycée secondaire Borg cédria MR: GARY EXERCICE: 1 Soit ABC un triangle . Niveau : 1er secondaire -1- Construire les points E et F tel que AE = 2 AB - AC et BF  AC -2- Montrer que 2 EB  EC  0 -3- Montrer que (AE) //(CF). EXERCICE: 2 Soit un triangle et M(AB) tel que AM  AB -1- Construire le point M. -2- Soit N vérifiant 2 AN  3CN  0 montrer que AN  AC -3- Montrer que MN  BC . -4- En déduire que (MN) // (BC)

à la géométrie(au mathématiques) , à l’astronomie et à la musique. Il fonde une école à Crotone en 532 av.J.C et crée une secte qui s’appelle « La communauté pythagoricienne » qui va encore existé après la mort de Pythagore.cette école s’appelle « école pythagoricienne ». Travaux et découverte : La géométrie : Le théorème de Pythagore est connu des égyptiens, Mésopotamiens et aussi dans les pays environnent le bassin méditerrané. Grace à Thalès de Milet il s’oriente vers la géométrie. IL utilise

[Homothetie et translations Translaton: z'=z+b Si on a z + xi + y , translation Homothetie: Z'=k(z-omega)+omega Si on a kz: homothetie ou k pas egale a 1 Cas particulier: Si on a kz + xi +y : on recherche l'ensemble des point invariants en resolvant z'=z z=kz + xi +y omega(...+...i) Donc ... admet un unique point invariant omega daffixe w(...+...i) on a donc z'=kz + xi +y w=kw + xi +y En effectuant une sousttraction membre a membre , on obtient : z'-w=k(z-w) Donc cette

scalaire Définition 1) Le produit scalaire de deux vecteurs Si ou alors On appelle carré scalaire et on note 2) En notant et non nuls est le réel, noté (ou ) défini par : le produit scalaire et H le projeté orthogonal de B sur (IA) : II. Calcul Quels que soient les vecteurs a) b) c) d) e) et les réels et : III. Orthogonalité IV. Vecteur normal Un vecteur non nul est dit normal à une droite D s'il est orthogonal à un vecteur directeur de D. V. Application à l'analyse Soient un

exercices type Bac Exercice 5 Bac S – Amérique du Sud – Nov. 2005 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ;[pic] ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Un point M d’affixe z est invariant par f si, et seulement si, sont image M’ a pour affixe z

v ) = II u II – II v II  →  →  →  → → → 2  → 2  →  →  → 2 3 Orthogonalité Définition A5 Vecteur normal à une droite Un vecteur normal à une droite δ est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de δ . Théorème A2 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Autrement dit Corollaire Dans un repère orthonormé (O; i , j ) du plan . u    →  →  → u ⊥ v ⇔ u.v = 0  →   → →  →

1) On prend un point M du plan tel que |OM|=1 . Dan un repère (O, i, j) le vecteur OM fait un angle a avec l’axe oj . Les coordonnées de M sont {x=Cos{a); y=Sin{a}). Le lieu de M qui est un cercle satisfait la relation Cos(a)^2+Sin(a)^2=1 et x^2+y2=1 est l’équation de ce cercle.+ Lorraine . 2) a/ Graphique. Voir Lorraine.On te demande de justifier géométriquement l'équation (x-3)^2+(y-1}^2=4Soit un point O{-3, -1} et un point M{x, y} on a OM^2=(x-3)^2+(y-1)^2. L'ensemble des point M distants