Géométrie non euclidienne

2ème Sciences CH4 –Géométrie : Homothétie Novembre 2009 A. LAATAOUI Définition : Introduction : Soit I un point du plan et M ¹ I. Construire M’ dans chacun des cas suivants : IM ' = 2 IM uuur uur IM ' = uuur 1 uur IM 3 uuur 3 uur IM ' = - IM 4 Définition : Etant donnés un point I et un réel non nul k. On appelle homothétie de centre I et de rapport k, toute application h : P ® P, M a M ' telle que : uuur uuu r IM ' = k I M . uuur uuu r On note h( I ,k ) ( M ) = M

Ces travaux mènent à la rédaction des Éléments qui fondent la géométrie. LES ELEMENTS : Les Éléments sont une compilation du savoir géométrique et restèrent le noyau de l'enseignement mathématique pendant près de 2000 ans. Il se peut qu'aucun des résultats contenus dans les Éléments ne soit d'Euclide, mais l'organisation de la matière et son exposé lui sont dus. Les Éléments sont divisés en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la

8 ACTIVITÉS Activité 1 sont parallèles. CHAPITRE Géométrie dans l’espace (page 167) c) Les droites (EF) et (HG) sont parallèles à (AB). 1 (AB) et (BF) sont dans le plan de la face (ABFE) donc elles sont coplanaires. Il en est de même pour les droites (AC) et (AD) toutes les deux contenues dans le plan (ABC) et pour les droites (HF) et (HE) dans le plan (EFG). Remarque : elles sont deux à deux sécantes… Activité 2 c) Certaines arêtes peuvent être « cachées », au maximum trois lorsqu’un

Séquence 1 1ère partie : Deux nouvelles fonctions 2e partie : Géométrie plane 3e partie : Un peu de logique Séquence 1 – MA12 7 ère 1 partie Deux nouvelles fonctions Sommaire 1. Pré-requis p.9 2. La fonction racine carrée p.16 3. La fonction valeur absolue p.21 4. Synthèse de la partie 1 de la séquence p.28 5. Exercices d’approfondissement p.30 8 Séquence 1 – MA12 1 Pré-requis A Ordre dans R Propriétés Soient trois réels a, b et c. Si a ≤ b , alors a +

éventuellement aplati. Démonstration : - Si [pic] = [pic], la translation de vecteur [pic] transforme le point C en D. Les segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même direction. Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme éventuellement aplati. - Réciproquement : Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles et de même longueur donc les vecteurs [pic] et [pic], définis à l’aide des segments [AB] et [CD] d’un parallélogramme

perceptions puisque nous n’avons pas la capacité d’aller au-delà. Ce qui fait de nous des ignorants. Et l’ignorance n’est pas compatible avec la science. Par exemple, nous pensions avoir la connaissance de la géométrie. Seulement il a été démontré que la géométrie euclidienne n’était en fait qu’une géométrie parmi d’autre que nous ne pouvions percevoir dans notre réalité. Toutefois, si nos connaissances établit par nos perceptions sont réfutés au-delà de notre réalité, elles restent tout de même valables

est tangente à C '  f (C ) en A'  f (A) . 4) Isométries et points fixes : Définition : On dit qu’un point A est fixe par une isométrie f si on a : f (A)  A . Théorèmes : (1) Une isométrie qui fixe trois points non alignés est l’idP . (2) Deux isométries qui coïncident sur trois points non alignés sont égales. (3) Si deux triangles ABC et A' B' C' sont isométrique il existe une isométrie  unique telle que : (A)  A' ; (B)  B' et (C)  C' . 1 SOUISSI COLLECTION FICHES BAC DE MATHEMATIQUES

ont même direction, même sens et si leurs longueurs AB et CD sont égales. On note 0 le vecteur nul (pour tout point A du plan AA = 0 ) Si AB = 0 alors A et B sont deux points confondus. 2. Egalité et parallélogramme . Soient quatre points A,B,C et D non alignés. -Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC , A D = BC , BA = CD et D A = CB . -Si l’une des quatre égalités est vérifiée alors ABCD est un parallélogramme (et les trois autres égalités sont vérifiées) 3. Translation . M’ est l’image de M

FICHE 1 VECTEUR , quelques rappels Exercice 1 ABC un triangle, construire (en justifiant si nécessaire) les points E,F et G tels que : 4 AE = BC , 5 FA = AC 1. placer les points A, B, C et I puis montrer que AM et AL sont colinéaires. 2. montrer que le vecteur AM est coplanaire aux vecteurs AB et AC . et GA = 2 GB . Exercice 6 : 3 méthodes Exercice 2 : relation vectorielle a. on a NM + NP = 0 que peut-on en déduire pour N, M et P ? b. soit A, B et C trois points de l’espace. (i) Montrer qu’il

Correction Interrogation 1 - les vecteurs - 2D4 (1 heure) I°- Questions de cours - Répondez sur votre copie. (5 points) 1°) Soit le vecteur . Quel nom donne-t-on au point A ? (0.25) Le point A est l'origine du vecteur . Quel nom donne-t-on au point B ? (0.25) Le point B est l'extrémité du vecteur . 2°) Si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati, alors, que peut-on dire des deux vecteurs et ? (1) Les vecteurs et sont égaux. 3°) Expliquez