Chapitre 4 : PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
Compétences : Connaître et savoir appliquer les propriétés du produit scalaire dans le plan Savoir définir le produit scalaire dans l’Espace Connaître et savoir utiliser les propriétés du produit scalaire dans l’espace

Partie A : LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN 1 Définitions Soit u → v deux vecteurs et trois points A, B et C du plan vérifiant u = AB et v = AC . et → → → → → Si → = → ou → = → alors u . v = 0. u 0 v 0 Si u ≠ 0 et v ≠ 0 , alors les trois points A, B et C sont distincts et définissent un plan et nous donnons quatre définitions du produit scalaire :
→ → → → → →

Définition A1 Projection orthogonale
C

K

Soit K le projeté orthogonal de B sur (AC) H le projeté orthogonal de C sur (AB)
→ →

u . v = AB . AC = AB . AH = AK . AC

→ →

→ →

→ →

A

H

B

Définition A2 Normes et cosinus
→ →

C
→ → →

u . v = AB . AC = II AB II × II AC II × cos( AB , AC ) = AB × AC × cos(BAC)
A B

→ →

→

Définition A3 normes II u II = u . u = u
 →

2

→ →

→2

Définition A4 Dans un repère orthonormal
 →  →
→

Dans un repère orthonormal (O; i , j ), on a u
→ →

Le produit scalaire de u par v est donné par u . v = x x’ + y y’ Conséquence : • le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. → → → → • u . v = v . u • • dans un repère orthonormé le vecteur u dans un repère orthonormé A  

x →  x '    et v   .  y  y'   →   →

 xA     yA 

x →   a pour norme IIu II = x2 + y2  y    xB  →  x B − x A  → 2 2 et B   y  alors AB  y − y  et IIABII = (xB – xA) + (yB – yA)    A  B  B
→

exemple A1 : Calcul de produits scalaires  →  → Dans un repère orthonormé (O;→ j ) , A( 1 ;1) B( –1 ;2) et C( –3 ;0). H est le projeté orthogonal de A sur (BC). i, → 1) Calculer mes( BA ; BC ) arrondi au degré près . 2) Calculer BH BA →