2ème Sciences

CH4 –Géométrie : Homothétie

Novembre 2009 A. LAATAOUI

Définition :

Introduction : Soit I un point du plan et M ¹ I. Construire M’ dans chacun des cas suivants :
IM ' = 2 IM

uuur

uur

IM ' =

uuur

1 uur IM 3

uuur 3 uur IM ' = - IM 4

Définition : Etant donnés un point I et un réel non nul k. On appelle homothétie de centre I et de rapport k, toute application h : P ® P, M a M ' telle que : uuur uuu r IM ' = k I M . uuur uuu r On note h( I ,k ) ( M ) = M ' équivaut à IM ' = k I M . Cas particuliers : uuur uuu r · Si k = 1 alors h( I ,1) ( M ) = M ' équivaut à IM ' = I M équivaut à M ' = M . · uuur uuu r Si k = - 1 alors h( I , -1) ( M ) = M ' équivaut à IM ' = - I M équivaut à I = M * M ' équivaut à
S I (M ) = M ' . h( I , -1) est ………………………………………………………………….... h( I ,1) est …………………………………………………………………....

Remarque : Si h( I ,k ) ( M ) = M ' alors I, M et M’ sont alignés. Activité 4 page 131 : « Construction du centre d’une homothétie connaissant son rapport, un point et son image » Activité 5 page 132.
Propriétés :

Propriété caractéristique : Si h( I ,k ) ( M ) = M ' et h( I ,k ) ( N ) = N ' .
1 Homothétie. 2ème Sciences 09 – 10. www.espacemaths.com

uuuuuu r uuur Exprimer M ' N ' en fonction de MN . ……………………………………………………………………………………………………………… …………. uuuuuu r uuur Ainsi on a : Si h( I ,k ) ( M ) = M ' et h( I ,k ) ( N ) = N ' alors M ' N ' = k MN Conséquence : h( I ,k ) ( A) = A 'ü

Si et

uuuur uur ï ý alors A ' B ' = k AB et par suite, on a : (A’B’) ….(AB) et A’B’ = ……AB. h( I ,k ) ( B) = B 'ï þ

Si k > 1 alors h agit comme un ……………………………….. Si k < 1 alors h agit comme un ……………………………….. Construire dans chacun des cas suivants, l’image du triangle ABC par h( A, k ) K=2 K = -2

K=

1 2

K=-

1 2

Remarque : Dans tous les cas qui précèdent on a :
AB ' AB = AC ' AC = B 'C ' BC = k .

2

Homothétie. 2ème Sciences 09 – 10.

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L’image d’un triangle par une homothétie est un