Relation de Chasles

configurations usuelles du plan et de l’espace Calculer des aires de figures planes ou de solides. Calculer le volume d’un solide usuel. Calculer la mesure d’un angle, une distance. Relations dans le triangle rectangle. Utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque Calculer des longueurs et des angles en utilisant les relations métriques dans le triangle rectangle (formulaire) Exemple de programme de mathématiques − 2nde professionnelle (Bac Pro 3 ans expérimental) – SEN 3 semaines 4 semaines

EMBED Equation.DSMT4 (C) D , D est le translat de C par la translation de vecteur EMBED Equation.DSMT4 (et rciproquement). Si EMBED Equation.DSMT4 alors les segments AD et BC ont le mme milieu (et rciproquement). Addition de vecteurs Relation de CHASLES Pour 3 points A,B et C distincts, on a EMBED Equation.DSMT4 Simplifier lcriture de EMBED Equation.DSMT4 Rgle du paralllogramme pour ajouter 2 vecteurs de mme origine. B Construire le point D tel que ABDC soit un paralllogramme

 0. Alors, pour tout point M du plan, on a : p q ÝÝÑ MG   ÝÝÑ MA  ÝÝÑ MB D’o`u l’on d´eduit : ÝÝÑ MG     ÝÝÑ MA    ÝÝÑ MB d´emonstration : On sait que  ÝÑ GA  ÝÝÑ GB  ÝÑ0 Donc, `a l’aide de la relation de Chasles : p ÝÝÑ GM ÝÝÑ MAq p ÝÝÑ GM ÝÝÑ MBq  ÝÑ0 Donc :  ÝÝÑ GM  ÝÝÑ MA  ÝÝÑ GM  ÝÝÑ MB  ÝÑ0 Donc : p q ÝÝÑ GM 
p ÝÝÑ MA  ÝÝÑ MBq Donc : p q ÝÝÑ MG   ÝÝÑ MA  ÝÝÑ MB On en d´eduit que :

[pic] sur [pic] a pour primitive [pic] car elle est continue sur [pic]. Donc [pic] V – Propriétés de l’intégrale Propriété : relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b et c dans I, on a : [pic]. Remarques : • En particulier [pic] donc [pic]. • Si f est positive sur I on a : [pic] La relation s’interprète en disant que : aire sous la courbe entre a et b = aire sous la courbe entre a et c + aire sous la courbe entre

b A= b f (x) dx a x O A=− b f (x) dx a A= a [f (x) − g (x)] dx Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiff Int´gration e 3 2 Propri´t´s de l’int´grale e e e Th´or`me 4 (relation de Chasles) Soit f d´rivable sur un intervalle I et soient a, b et c des ´l´ments e e e ee de I. c c b f (x) dx f (x) dx = f (x) dx + a b a Th´or`me 5 Si f et g sont d´rivables sur [a; b] : e e e b b b a a

tout réel x de ]0 ; + ([, [pic]. 1. Étudier le sens de variation de F sur ]0 ; + ([. (0,5 point) 2. Démontrer que, pour tout x supérieur ou égal à 2, [pic]. (0,5 point) Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en déduire [pic]. (0,5 point)

et [ BD ] ont même milieu . ( Si A, B, C et D sont alignés, on dit que ABCD est un parallélogramme aplati ) REGLES DE CALCUL Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan. RELATION DE CHASLES : Ex : AB + BF = AD + DI = DE + KL = REGLE DU PARALLELOGRAMME : Ex : DC + DJ = JN + JH = DC + DJ + DA = OPPOSE D’UN VECTEUR : Ex : AB = JN + LG = a( u + v )=a u +a v , (a+b) u =a u +b u , a ( b u ) = ( a b ) u , au =0 a = 0 ou u = 0 etc

F (a) Interprétation géométrique : Si f est à valeur positives, alors l’intégrale de f sur l’intervalle [a,b] est égale à l’aire de la région délimitée par le graphe de f, les deux verticales x = a et x = b, et l’axe des abscisses y = 0. q Relation de Chasles : Pour tout nombre réel c tel que a < c < b : ∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx

définition du barycentre G t M t + G t O + G t M t + G t P t + −−→ → −− − −− −→ 1 − − − → −− −→ − − −→ G t N t = 0 ⇐⇒ (avec la relation de Chasles) OG t = OM t + OP t + ON t . 4 − − → 1 − − → −−→ − − → −− −− −− −− a. Pour t = −2 on obtient OG −2 = OM−2 + OP −2 + ON−2 soit avec les 4 1 coordonnes des points M−2 , N−2 , P −2 , on obtient G −2 −1 ; e−2 − 2 b. Avec la relation obtenue au début du 2. on obtient de même t 1 Gt ; 2et + t − t et 2 2 3. En posant 1 t = x ⇐⇒ t = 2x, on obtient y = 2e2x + 2x

(−2); 5 − 4) − − → AB(5; 1) −→ − Ainsi que les coordonnées du vecteur DC en fonction de xD et yD : −→ − DC(6 − xD ; −2 − yD ) qui doivent donc vérifier : −2 − yD = 1 −→ − − → 2) On sait que ED = 3EA ce qui équivaut à : −→ −→ − − − → D’après la relation de Chasles : DE = DA + AE D’où : 6 − xD = 5 c’est à dire : −2 − 1 = yD 6 − 5 = xD D’où xD = 1 et yD = −3. Les coordonnées du point D sont bien (1; −3) −→ − − → DE = 3AE −→ − − → − → DA + AE = 3AE −→ − − → DA = 2AE Et donc − → 1 −→ − DA = AE 2