I — Vecteurs de R2 ou de R3

1 Vecteurs du plan
1.1 Cordonnées
−
→ −
→
On se donne un plan muni d’un repère orthonormé (O , i , j ). On suppose connues les notions de vecteurs du plan, d’opérations sur les vecteurs. Rappelons alors :
Définition I.1

→
Un vecteur − u a pour coordonnées les réels a et b signifie que

−
→
−
→
−
→
u =a i +bj
Les coordonnées d’un vecteur sont rangées dans un tableau en colonne façon abrégée : a −
→
u =

b

Par exemple, pour les deux vecteurs de base :
−
→ i =

1
0

,

0
−
→ j =
1

−
→
Le vecteur nul 0 est celui dont les deux coordonnées sont nulles.

a b . On écrit de

2

Vecteurs de R2 ou de R3

→
− →
−
R Les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base ( i , j ).

On peut alors démontrer :
Théorème I.1

→
→
Si − u et − v sont des vecteurs du plan, λ un scalaire (=un réel) alors

a
−
→ u =
,
b

a′

−
→
v =

b′

implique
−
→
→
u +− v =

a

a′

+

b

=

b′

a + a′ b + b′

et a → λ− u =λ
=
b

Définition I.2

λa λb Si P est un point du plan, les coordonnées de P sont les réels (x, y) définis

par :
−−→
−
→
−
→
OP = x i + y j
−−→
Autrement dit, les coordonnées de P sont les coordonnées du vecteur O P . Lorsque P a pour coordonnées le couple (x, y), on note parfois
P = P (x; y)

ou bien P = P

x y Lorsqu’il y a plusieurs points (ce qui arrive souvent...), on pourra noter xP et yP les coordonnées du point P . Rappelons que la relation de Chasles permet d’écrire :
−→
AB =

xB − xA yB − yA

1.2 Produit scalaire
Définition I.3

→
Le produit scalaire de deux vecteurs − u =

−
→
→ u .− v =

a b .

a′ b ′

a b → et − v =

a′ b′ est le nombre

= aa′ + bb′

→
→
Il est parfois noté − u ,− v . Ce produit scalaire est nul lorsqu’un des vecteurs est nul ; sinon,
−
→ en notant u la longueur (on dit également norme) d’un vecteur, et θ l’angle (orienté ou