Homothétie

solution positive de cette équation est le nombre d'or  =  Dans tous les cas d = c Le pentagone A1B1C1C2A2 est l'image du pentagone ABCC1A1 par l'homothétie de centre O et de rapport . Si AA1 = 1, A1A2 = =  - 1; AA2 = 1 += . Quand on itère cette homothétie, on obtient une suite infinie de pentagones. Observer la suite des points A, A1, A2, ... A2A3 =  et ainsi de suite ; AAn = AA1 + A1A2 + A2A3 + ... + An-1An, somme des premiers termes d'une suite géométrique

2n(1 + zk )2n−1 2n((1 + zk )2n ) 2n Donc, F= 1 2n 2n−1 k=0 eikπ/n . X + 1 − eikπ/n Partie II : 6.- Soient λ ∈ C, puis f = λIE . f solution ⇔ (λIE + IE )2n − IE = θ ⇔ ((λ + 1)2n − 1)IE = θ ⇔ A(λ) = 0 ⇔ ∃k ∈ 0, 2n − 1 / λ = −1 + eikπ/n . Les homothéties vectorielles qui sont solutions de l’équation proposée sont les applications de la forme (−1 + eikπ/n )IE , 0 ≤ k ≤ 2n − 1. 7.- La formule du binôme de Newton fournit 2n 22n = (1 + 1)2n = k=0 2n k = S + S ′, et, puisque 2n > 0, 2n 0 = (1 −

leur perte en raison d’une substituabilité limitée entre les produits industriels et les autres catégories de biens. 1) Un effet de revenu Les gains de productivité ont permis une augmentation du revenu réel. Or, en 1857, E. ENGEL montre la non homothétie des fonctions de demande, c’est-à-dire que la part des dépenses d’alimentation dans le budget des ménages diminue avec l’augmentation du revenu. Il apparaît, également, que la part attribuée aux dépenses de vêtements, à l’habitation, au chauffage

skieurs de vitesse. Une fois le modèle réel « ancienne réglementation » reconstruit, il a fallu l’adapter aux nouvelles règles (prise en compte du casque de sécurité et limites augmentées à 48 cm). Dans un premier temps, nous avons effectué une homothétie pure et simple de la jupe reconstruite, jusqu'à ce que le résultat puisse contenir le casque de sécurité. Dans un second temps, nous avons recherché les optimisations et les axes de modification possibles. a) Optimisations possibles Une fois

équation est le nombre d'or Φ = [pic]. Dans tous les cas d = c Φ. Le pentagone A1B1C1C2A2 est l'image du pentagone ABCC1A1 par l'homothétie de centre O et de rapport [pic]. Si AA1 = 1, A1A2 = [pic]= Φ - 1; AA2 = 1 +[pic]= Φ. Quand on itère cette homothétie, on obtient une suite infinie de pentagones. Observer la suite des points A, A1, A2, ... A2A3 = [pic]’ − Φ + 2, “3“4 ’[pic] ’ 2Φ −3, “4“5 ’[pic] ’ −3Φ + 5 et ainsi de suite ; AAn = AA1 + A1A2 + A2A3 + ... + An-1An, somme des premiers termes d'une

le bon mode de fusion : Les transformations Photoshop dispose d'outils permettant d'effectuer des transformations sur des calques. Ils sont accessibles vie le menu Edition/Transformation. Il existe plusieurs types de transformations : * Homothétie : Il s'agit d'une mise à l'échelle * Rotation * Inclinaison : "Tord" l'image comme un parallélogramme * Torsion : il est louche celui-là, je m'en sers jamais (il ressemble à perspective) * Perspective : permet de créer un effet de

sommets de cette étoile, nous obtenons un hexagone régulier et nous pouvons de nouveau prolonger ses côtés de façon à obtenir première. une nouvelle étoile plus “ grande ” que la Ces constructions initient s’appellera un homothétie figures). de fait à (réduction ce ou qui par la suite agrandissement de Si l’on repère bien les sommets d’un hexagone régulier, on peut également obtenir d’autres figures intéressantes certaines ont été mises en évidence grâce à différents

itération de la boucle travaille sur une matrice qui a une colonne de moins que la précédente, alors au bout d’au plus p ° 1 itérations de la boucle, on aura obtenu une matrice échelonnée. Partie B. Passage à une forme échelonnée réduite. Étape B.1. Homothéties. On repère le premier élément non nul de chaque ligne non nulle, et on multiplie cette ligne par l’inverse de cet élément. Exemple : si le premier élément non nul de la ligne i est Æ 6= 0, alors on effectue L i √ Æ1 L i . Ceci crée une matrice échelonnée

particulier. Si A’ est le milieu de [ OA ] et si OBB’ sont alignés alors B’ est le milieu de [ OB] si et seulement si (A’B’) et (AB) sont parallèles. Remarque. Il existe plusieurs autres réciproques qui seront vues en première avec les vecteurs ou les homothéties. Points remarquables. Dans un triangle, les médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, les médiatrices sont concourantes au centre du cercle circonscrit au triangle et les hauteurs sont concourantes à l’orthocentre. Triangle

vectoriels E et F de dimensions finies sont isomorphes si, et seulement si, dim E = dim F. 169 Algèbre linéaire et multilinéaire © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit. 53 1re année Applications linéaires particulières Homothétie hk : E x −→ E → kx 1. Soit k ∈ K ∗ . L'homothétie de rapport k est l'application : Dans cette définition, n'oubliez pas que k ne dépend pas de x. 2. 2.1 Projections et symétries Définitions Soit F et G deux sous-espaces vectoriels