Homothétie

prix peut modifier l’optimum. Si le prix du bien 1 baisse de 20% (p1 0,8), cela change le point X1 (plan de budget G) qui devient X′1(1,25 0 0) et le point Z1 (2 1) qui devient Z′1 (2,5 1,25). Ce point correspond sur le graphique à un allongement (homothétie) de 25% du segment OZ1. La maximisation de U(z) correspondrait alors à la consommation du seul bien 1 en quantité x1 1,25. L’apparition d’un nouveau produit possédant les mêmes caractéristiques donnerait une quatrième colonne à la matrice B. Pour

prix peut modifier l’optimum. Si le prix du bien 1 baisse de 20% (p1 0,8), cela change le point X1 (plan de budget G) qui devient X′1(1,25 0 0) et le point Z1 (2 1) qui devient Z′1 (2,5 1,25). Ce point correspond sur le graphique à un allongement (homothétie) de 25% du segment OZ1. La maximisation de U(z) correspondrait alors à la consommation du seul bien 1 en quantité x1 1,25. L’apparition d’un nouveau produit possédant les mêmes caractéristiques donnerait une quatrième colonne à la matrice B. Pour

d’où 3z = −1 1 + z2 z = − tan θ + C te 3 θ + C te 3 θ + C te 3 r puis Par suite r = − tan puis r = a cos3 e) Les courbes se déduisent l’une de l’autre par application d’une similitude directe de centre O i.e. par application d’une homothétie et d’une rotation de centre O. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Corrections 16 Exercice 30 : [énoncé] a) ω est exacte et ses primitives sont de la forme : f (x, y) = xy + C. y b) ω est exacte et ses primitives sont de la forme : f

Montrer ∀k, ∈ N, dim ker uk+ dim ker uk + dim ker u 1 Eléments d’algèbre linéaire Généralités d’algèbre linéaire Exercice 1 [ 00159 ] [correction] Soit f ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E, x et f (x) soient colinéaires. Montrer que f est une homothétie vectorielle. Projecteurs Exercice 8 [ 00165 ] [correction] Soient p et q deux projecteurs d’un K-espace vectoriel E. a) Montrer que p et q ont même noyau si, et seulement si, p ◦ q = p et q ◦ p = q. b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante

|Z| > 1 (en fait |Z| = 1). On a représenté les points A0 , . . . , A4 images des racines cinquièmes de Z. On a posé arg Z = ϕ [2π]. −→ −−→ ϕ On a ici Ox, OA0 = [2π]. 5 Le pentagone A0 A1 A2 A3 A4 se déduit, par rotation de centre O d’angle ϕ/5, et homothétie de centre O de rapport 5 |Z|, du pentagone (non dessiné) des pointsimages des racines cinquièmes de 1. 3.6.3 Généralisation (admise) aux racines des polynômes Dans cette sous-section, dont les résultats sont admis, on note P (z) = an z n + an−1

vectoriel. On définit l’application f par : f :E u → E → −u f est linéaire et s’appelle la symétrie centrale par rapport à l’origine 0E . u 0 f λ (u) = λ · u f (u) = − u 0 u Homothétie. Soient E un K-espace vectoriel et λ ∈ K. On définit l’application f λ par : fλ : E u → E → λu f λ est linéaire. f λ est appelée homothétie de rapport λ. Cas particuliers notables : – λ = 1, f λ est l’application identité ; – λ = 0, f λ est l’application nulle ; – λ = −1, on retrouve la symétrie centrale. Preuve

semblable à la matrice proposée. Exercice 44 : [énoncé] Par récurrence sur n ∈ N . Pour n = 1 : ok Supposons la propriété établie au rang n 1. Soient A ∈ Mn+1 (K) de trace nulle et f ∈ L(Kn+1 ) l’endomorphisme canoniquement associé. Si f est une homothétie vectorielle alors f = 0 car trf = 0. On conclut. Sinon, il existe un vecteur x tel que f (x) ne soit pas colinéaire à x. En représentant f dans une base dont x et f (x) sont les deux premiers vecteurs, on obtient que A est semblable à la matrice

pour chaque Prép X si le verbe être admet une ou des variantes aspectuelles et un ou des opérateurs causatifs. On observe en effet des cas où les formes (B') et/ou (B") et (A') et/ou (A") sont interdites : * Ce triangle est devenu isocèle * Cette homothétie a rendu ce triangle isocèle * Luc est (entré + tombé + arrivé) de bas étage * Cette affaire a (mis + envoyé + conduit + poussé) Luc de bas étage La principale différence entre (A) et (B) est que la gamme des variantes aspectuelles et opérateurs

même niveau conceptuel : marketing et merchandising. De ce fait, les sens et l’homothétie des deux mots apparaissent au premier coup d’oeil, même pour un enfant de sept ans. Les traductions administratives françaises ne respectent pas cette homothétie anglo-américaine des deux termes. En effet, en français, les suffixes ont un sens bien défini. Citons le Grand Robert analogique de la langue française. « -ique : ce suffixe savant permet de créer des adjectifs relatifs à tous les mots savants

homogreffe Fém. homologation Fém. homologie Fém. homomorphisme Masc. homoncule Masc. homonymie Fém. homoparentalité Fém. homophilie Fém. homophobie Fém. homophonie Fém. homos Masc. homosexualité Fém. homosphère Fém. homothermie Fém. homothétie Fém. homuncule Masc. hongroyage Masc. hongroyeur Masc. honnêteté Fém. honneur Masc. honorabilité Fém. honoraires Masc. honorariat Masc. honte Fém. hooligan Masc. hooliganisme Masc. hôpital Masc. hôpital Masc. hoplite Masc. hoquet