Homothétie

La transformation s ◦ s, composée de similitudes directes de centre Ω est une similitude directe de centre Ω, de rapport 4 (produit des rapports) Asie 2 juin 2007 Baccalauréat S et d’angle π (somme des angles). s ◦ s est donc une homothétie de centre Ω et de rapport −4. Le point Ω est donc situé sur le segment [AB]. Plus −→ − −→ − exactement : puisque ΩA = −4ΩB , le point Ω est barycentre du système pondéré {(A, 1); (B, 4)}. −→ − → − − De plus ΩB , ΩO = π/2 donc Ω est le pied de la

de v a la forme voulue. Réciproquement, s’il existe une base adaptée à la somme directe E = ⊕ Eλi (u) dans laquelle la matrice de v est de la i=1 p forme de l’énoncé, chaque vi est un endomorphisme du Eλi (u) correspondant. Comme ui est une homothétie, ui et vi commutent. Ainsi, v ◦ u et u ◦ v coïncident sur chaque Eλi (u) et comme E est somme directe de ces sous-espaces, on a bien u ◦ v = v ◦ u.  V1 .. . 0  4. 0 Vp 2 lui-même isomorphe à Mn1 (C) × ... × Mnp (C) qui est de dimension n1

le jeu mécanique ne peut décroître indéfiniment. C'est pourquoi cette seconde approche de la réduction partielle du motif élémentaire est envisagée. Cette partialité consiste à réduire toutes les dimensions sauf celle du jeu mécanique. III.3.2.1. Homothétie totale Nous appliquons notre démarche sur une structure à aimants permanents et à champ longitudinal dont le détail sera donné au chapitre suivant. I - 19 Généralités sur les actionneurs linéaires – Hamid BEN AHMED et al. – SATIE ENS-Cachan -

médiane et le moyenne sont les valeurs les plus proches de l’échantillon, la première si on choisit la dispersion absolue, la seconde si on choisit la dispersion quadratique. 1 Cette transformation est une translation. Cette transformation est une homothétie. 3 L’ouvrage de N. Gauvrit, Statistiques Méfiez-vous, aux éditions Ellipses, présente ces questions d’interprétation de manière claire et simple. 2 Eric-Olivier.Lochard@univ-montp3.fr – 5 janvier 2009 5 Statistique pour la psycholoie II Moyenne

−− −→ −− −→ −− −→ → − D.2.5 Par définition du centre d’inertie G, m1 GM1 + m2 GM2 = 0 , on en déduit GM1 = −→ − −− −→ −→ − − m1m2 2 GM et GM2 = m1m1 2 GM . Par conséquent, les trajectoires de M1 et M2 s’obtiennent +m +m à partir de celle de M par homothétie. D.3 Étude du mouvement de M D.3.1 On applique le théorème du moment cinétique dans le référentiel barycentrique galiléen −∗ → −→ − − → − − −→ L v au point M . ddt = dGM ∧ µ→ + GM ∧ µ ddt . Les deux termes sont nuls car les produits vectoriels

+ γ = 0 α β 1 avec α ² + β ² − 4γ > 0 est un cercle de centre Ω − ; − et de rayon R = (α ² + β ² − 4γ ) 2 2 4 Remarque: Le cercle C de diamètre [AB] est l'ensemble des points M ( x; y ) du plan tels que l'on ait MA ⋅ MB = 0 13. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES Définition: Soit u un vecteur. La translation de vecteur u , notée tu , est l'application de l'espace dans lui-même définie qui, à tout point M, associe le point M ' tel que MM ' = u . tu ( M ) = M ' ⇔ MM ' = u Premières conséquences: • Une translation

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⃗⃗⃗⃗ et 𝑣2 ⃗⃗ ⃗⃗ les vecteurs vitesses correspondants ; v1 = v2 = v Translatons le vecteur 𝑣1 ⃗⃗⃗⃗ en M2 et traçons un vecteur de P à N qui représente le vecteur variation de vitesse ∆𝑣 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. Il y a homothétie des triangles isocèles CM1M2 et M2PN. En effet l’angle M1CM2 = l’angle PM2N = α (angles à côtés perpendiculaires). La relation de proportionnalité entre côtés homologues permet d’écrire : PN M2P -------- = -------- M1M2

z n    ei    n ein , n       c a  Angle de deux vecteurs : ( AB, AC )  arg    b a n Distance de deux points : AB  b  a Similitude directe : S(( ), k ,  ) : z  z '/ z '   kei ( z   ) ; avec =0 : homothétie, avec k=1 : rotation z    Im( z )  0  arg( z )  0[ ] Inégalité triangulaire : z  z   z  z   z  z  Produit scalaire : p  z. z ' z . z ' z  i  Re( z )  0  arg( z )   [ ] 2 Algèbre : Identités remarquables (valables

rang 1 car A − λI ∈ L (vu que L est un sous-espace vectoriel contenant A et I) et on a supposé que L ne contient aucune matrice de rang 1. Donc nécessairement rg(A − λI) = 0, c’est-à-dire A = λI . Ainsi L est contenu dans la droite Vect(I) des homothéties vectorielles. Comme I ∈ L, on a évidemment l’inclusion réciproque Vect(I) ⊂ L, d’où L = Vect(I) . I.C.2) Supposons par l’absurde que L vérifie P6 mais pas P1 . Alors L = Vect(I). Alors tous les sous-espaces vectoriels de V sont stables par L