Homothétie

Montrer que est un endomorphisme de . 2. Déterminer la matrice de dans la base . 3. a) Déterminer le noyau et l'image de . b) En déduire que est inversible. c) Déterminer dans la base , en déduire . 4. Montrer que . Où est la matrice d'une homothétie dont on donnera le rapport et est la matrice d'une rotation dont on donnera l'angle. Soient et deux vecteurs de . On pose ( ). 5. Montrer que ( ) est une base de . 6. Calculer ( ) et ( ). 7. Déterminer la matrice de dans la base . Allez

π décrit un cercle. Si on considère M3 et M4 fixés, alors M1 , M2 , M3 et M4 sont cocyclique si et seule−−→ −−→ −− −− −−→ −−→ −− −− ment si (M1 M3 , M1 M4 = (M2 M3 , M2 M4 ) M(z) M’(z’) β β A(a) 8.3 8.3.1 β+π B(b) Translation, homothétie et rotation Translations Définition 8.3.1. − On appelle translation de vecteur → l’apu plication − t→ : u P M → P − → M = M + →, u u M ’(z’) M (z) O −− −→ − c’est-à-dire telle que M M = →. u − Proposition 8.3.1. Soit b ∈ C et

communication Le logo de Schneider Electric Le logo de Schneider Electric se décline en 2 teintes possibles : le vert (pentone 355C) et le noir. La variation de taille, en fonction des besoin se fait par un agrandissement ou rétrécissement par homothétie, ce qui permet de garder un logo équilibre en taille et en qualité. Schneider Electric ne possède qu’un seul logo depuis peu, puisqu’auparavant plusieurs déclinaisons étaient possibles, mais par souci de respect de la charte graphique seul celui-ci

d’un nouvel octogone étoilé : une reproduction de l’étoile initiale, qui révèle encore le tracé d’un polygone convexe plus petit. On peut donc itérer le procédé. Si ce procédé est itérable indéfiniment, il s'agit d'une fractale. L’action d’une homothétie se répète indéfiniment, qui réduit une paire d’octogones réguliers en une autre paire semblable, qu’elle réduit encore et encore. Le centre de l’homothétie est le centre commun des octogones réguliers, convexes et étoilés. Le rapport d’homothétie

alors f A f (0E ) = 0F . est aussi linéaire — mais sur A. En effet, s’il est vrai pour tous x, y ∈ E et λ, µ ∈ K que f (λx + µy) = λf (x) + µf (y), c’est a fortiori vrai pour tous x, y ∈ A. Définition (Homothétie) Soient E un K-espace vectoriel et λ ∈ K. On appelle homothétie de E de rapport λ l’application E −→ E Cette application est un endomorphisme de E. λIdE , i.e. x −→ λx. Démonstration Pour tous x, y ∈ E et α, β ∈ K : (λIdE )(αx + βy) = λ(αx + βy) = α(λx) + β(λy) =

La compléter en la dotant des méthodes suivantes : • homothetie qui multiplie les coordonnées par une valeur (de type double) fournie en argument, • rotation qui effectue une rotation dont l’angle est fourni en argument, • rho et theta qui fournissent les coordonnées polaires du point, • afficheCart qui affiche les coordonnées cartésiennes du point, • affichePol qui affiche les coordonnées polaires du point. La méthode homothetie ne présente aucune difficulté. En revanche, la méthode rotation

structurations médiatiques et politiques dans les processus de communication globale. Découvrir les processus d’appropriation des nouveaux territoires médiatiques. Appréhender leur influence sur l’efficacité des campagnes de communication. Repérer les homothéties ou les antagonismes entre les attentes des publics et les réponses des médias. Connaître les principales évolutions des nouvelles régulations sociétales. Isoler les principaux relais et freins médiatiques. Différencier les logiques privé/public

de son contexte, éventuellement instrumenté, mais mettant en oeuvre les éléments ou organes réels de l'équipement industriel ou grand public. Les systèmes ou matériels maquettisés Avec ces systèmes ou matériels, il y a un rapport d'échelle, une homothétie avec le matériel réel. Une maquette peut traduire une fonction globale, des données d'entrée, de sortie et de contrôle en termes qualitatifs. Elle peut traduire un processus global de fonctionnement sans rigueur car elle n'intègre pas des phénomènes

détermination des conditions de son avènement. Or si la justice y apparaît comme un idéal d’accomplissement intérieur assurant l’excellence et le contentement de l’homme, Platon se refuse à dissocier morale, politique et ontologie. Il existe en effet une homothétie structurelle entre l’âme humaine, la Cité et le cosmos, de sorte que la justice se définit comme un rapport de convenance par lequel les parties constitutives d’un Tout sont articulées selon une hiérarchie qui réalise le bien propre à celui-ci. Agir

et en particulier des rotations autour du point zéro, origine des coordonnées. Un nombre complexe a + ib, ou encore ρeiθ sous sa notation polaire, devient ainsi un opérateur et réalise, par la multiplication, une rotation d’angle θ suivie d’une homothétie de rapport ρ. La généralisation de cette méthode aux problèmes de géométrie dans l’espace (à trois dimensions) a naturellement tenté un certain nombre de mathématiciens. La difficulté provenait du fait qu’ils cherchaient à résoudre cette question