Homothétie

2ème Sciences CH4 –Géométrie : Homothétie Novembre 2009 A. LAATAOUI Définition : Introduction : Soit I un point du plan et M ¹ I. Construire M’ dans chacun des cas suivants : IM ' = 2 IM uuur uur IM ' = uuur 1 uur IM 3 uuur 3 uur IM ' = - IM 4 Définition : Etant donnés un point I et un réel non nul k. On appelle homothétie de centre I et de rapport k, toute application h : P ® P, M a M ' telle que : uuur uuu r IM ' = k I M . uuur uuu r On note h( I ,k ) ( M ) = M

barycentre des images avec un les mêmes coe¢ cients. Conséquences : f est déterminée par l’ image d’ point et la parun ! tie linéaire f , partie linéaire d’ une composée d’ applications a¢ nes, expression dans un repère. (b) Exemples : translations, homothéties, projections, symétries, caractérisations de ces transformations. (c) L’ image d’ sous-espace a¢ ne F de E par une application a¢ ne f un de E dans E 0 , est un sous-espace a¢ ne de E 0 . ! ! ! f (I + F ) = f (I) + f F . La dimension du sous-espace

Homothétie de rapport positif 2012-2013 1. Définition. Soit un point C et un nombre k tel que k  0 L’image d’un point M par l’homothétie de centre C et de rapport k est le point M’ tel que CM '  k  CM Remarque : Puisque k  0 , M ' appartient à la demi-droite [CM) tel que CM’ = k x CM On note : H  C , k  M M' Exemple : Soit M’ l’image de M par H  C , 2  Puisque CM’ = 2 CM, le point M est le milieu de [CM’]. 2. Propriétés. 1. L’homothétie conserve l’alignement, les

LES HOMOTHÉTIES I) Généralités Définition : On appelle homothétie de centre O et de rapport k (k ¹ 0) la transformation pour laquelle un point ® ® M du plan a pour image le point M' tel que : OM' = k OM Exemples : dans chacun des cas ci-dessous, construire l'image de la figure par l'homothétie de centre O et de rapport k. Préciser également s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction. k=2 B Dans chaque cas, on écrira des relations de colinéarité ® ® O du type : OA¢ = 2 OA C A k= 1

Homothéties Définition O est un point, k est un réel non nul. On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation qui à tout point M associe le point M' tel que Si on note h l'homothétie de centre O et de rapport k, les énoncés suivants sont équivalents : M' est l'image de M par h M' = h(M) Exemples Le point M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport 3, en effet . Le point C est l'image de B par l'homothétie de centre A et de rapport

transformation géométrique permet à chaque point du plan cartésien de bouger pour que la figure initiale devienne la figure image soit par : 1- une rotation 2- un déplacement (translation) 3- un éloignement/rapprochement par rapport à l’origine (homothétie) 4- une réflexion ou symétrie (effet miroir) Atelier #1 : Les images Pour ce premier atelier, tu devras trouver les meilleures images qu’Internet contient concernant les quatre transformations précédemment énumérées. Évidemment

déduit : 3=2 Donc : 3=2+2 Donc : =2 Finalement : =-)). Donc )). De la même façon, on a : =- donc ) et : =- donc ). b) On sait que l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle. On sait que h(A)=A'. Donc l'image de la droite ) par h est la droite parallèe à ) passant par A'. Or A' est le milieu de [BC] et )┴(BC). Donc la parallèle à ) passant par A' est la

S. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 7. Représenter ce nouveau rectangle s’il subit une homothétie de rapport 3. 8. Calculer la nouvelle aire S’. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 9. En déduire la relation entre S’ et S par une homothétie de rapport 3. Généraliser à une homothétie de rapport k. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

[Homothetie et translations Translaton: z'=z+b Si on a z + xi + y , translation Homothetie: Z'=k(z-omega)+omega Si on a kz: homothetie ou k pas egale a 1 Cas particulier: Si on a kz + xi +y : on recherche l'ensemble des point invariants en resolvant z'=z z=kz + xi +y omega(...+...i) Donc ... admet un unique point invariant omega daffixe w(...+...i) on a donc z'=kz + xi +y w=kw + xi +y En effectuant une sousttraction membre a membre , on obtient : z'-w=k(z-w) Donc cette

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Table des figures 1 − Translation de vecteur → . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 5 2 Homothétie de centre Ω et de rapport k . . . . . . . . . . . .