Homothétie

plus forte Adaptabilité Cohérence  adaptabilité / adaptation formelle • Problèmes de formats (durée et surface) • Problèmes entre les supports de natures très différentes : -audio visuel - Résolution des problèmes d’homothétie Une homothétie est une transformation géométrique, càd une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c’est une apparition mathématique de l’espace sur lui-même. Homo pour « semblable » et thesis pour « position

fois le nombre 2 EXERCICE2 (O; U;V ) un R.O.N.D 1) soit g l' application de P dans P qui a tout point M d' affixe z associe le point M ' d' affixe z ' = (1 - i 3 ) z + (1 + i ) 3 déterminer les éléments caractéristiques de g 2) soit dans P l' homothétie h de centre Ω(1,-1) et de rapport 1 on pose f = hog 2 déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f 3)Soit D : y = x déterminer et construire l' image de D par f PROBLEME Soit P le plan rapporté à un repere (O; I; J ) et

M′ N′ M N 71 Transformations du plan et de l’espace Démonstration − − ′ −− ′ − −→ −→ M M = N N = → donc M N N ′ M ′ est un parallélogramme. u −′→ −→ − ′ − − Ainsi M N = M N . c) Homothéties Définition Définition Étant donnés un point O et un réel k non nul, on appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation, notée h(O, k) qui à tout point M associe le point M ′ tel −− −→ −→ − que OM ′ = kOM . M M′ M O k>0 O k 0 alors (kAB , AB ) = 0 + k

Propriété 5.6. L’ensemble I des points invariants du plan P (ou de l’espace E ) par une homothétie de rapport k est I = {Ω} si k = 1, I = P (ou I = E ) si k = 1. − → − → − → → − Preuve. On cherche l’ensemble des points I tels que ΩI = k ΩI ⇔ (1 − k)ΩI = 0 . Donc soit k = 1 et tous les points − → → − conviennent, soit k = 1 et dans ce cas ΩI = 0 ⇔ Ω = I . ♦ Transformation réciproque Propriété 5.7. Soit h une homothétie du plan (ou de l’espace) de centre Ω et de rapport k. Alors h −1 = h Ω ; 1 Preuve.

f(tx, ty) = tkf(x, y) Le degré k d’homogénéité peut être un réel de valeurpositive, négative ou nulle... 9.1.2 Exemple f(x, y) = 3x2y − y3 * f est une fonction polynôme en x et en y : elle est donc de classe C sur R2. * Df = R2 est stable par homothétie positive car: qqs (x, y)  R2 , qqs t  R +, (tx, ty)  R2 ( le produit de deux réels est un réel ) * qqs (x, y)  R2 , qqs t  R +, f(tx, ty) = 3(tx)2(ty) − (ty)3= t3(3x2y − y3) = t3f(x, y) * f est donc une fonction homogène de degré 3 sur

140 90 16 50 7 37 e. 1) 07. a) Homothétie de rapport 7 Mesures des côtés homologues Figure initiale Figure image 88 616 106 742 11 2 92,1 644,7 b) Figure initiale Figure image Homothétie de rapport Mesures des côtés homologues 30 165 28 154 2 3 38,2 210,1 20 110 c) Homothétie de rapport Mesures des côtés homologues Figure initiale Figure image 11,1 7,4 9,6 6,4 19,5 13 d) Homothétie de rapport 3,6 Mesures des côtés homologues Figure initiale

carrée de format n + 1 et de trace nulle puis f l’endomorphisme de Kn+1 de matrice A dans la base canonique (e1 , ..., en+1 ) de Kn+1 . Si f est une homothétie de rapport noté k, alors 0 = Tr( f ) = k(n + 1) et donc k = 0 puis f = 0 puis A = 0. Dans ce cas, A est effectivement semblable à une matrice de diagonale nulle. Sinon f n’est pas une homothétie et on sait qu’il existe un vecteur u de E tel que la famille (u, f (u)) soit libre (voir exercice ??). On complète la famille libre (u, f (u)) en une

passant par D, soit la droite d. D'autre part, le centre B de l'homothétie, le point C et son image K sont alignés. K est donc à l'intersection des droites d et (BC). K et F sont confondus. Le segment [EC] a pour image le segment [DF]. Comme une homothétie conserve le milieu, on a : le milieu I du segment [EC] a pour image le milieu J du segment [DF]. Une méthode en utilisant les triangles isocèles ... D'après le 3/, on sait : BC = BE Dans le triangle BEC, la droite (DF) étant parallèle à (EC), on

2 1 5 4 7 3 D 6 1 5 4 2 D 3 Le modèle hexagonal : exemples de motifs à 3, 4, 7 cellules Cours B11 - TRANSMISSION DES TELECOMMUNICATIONS - Partie 2 - Chapitre 8 28 CNAM Spectre limité/Trafic important Le modèle hexagonal : Homothétie de cellules : pour servir un trafic plus important sans demander plus de spectre, on peut choisir des cellules plus petites. Le trafic maximum par cellule est inchangé mais le trafic servi par km2 est accru. Cependant, les coûts d'infrastructure

ORAL 2 – 14 novembre - Thème: Géométrie au collège 6/14 circonscrit, et de sa réciproque (4ème) Niveau lycée : • par la géométrie analytique en introduisant un repère orthonormé (2nde) • par les vecteurs et le produit scalaire (1ère S) • par les homothéties (BTS) Voici 3 corrigés possibles : 1 niveau 4ème, 1 niveau 1ère S et 1 niveau BTS. Dans les 3 démonstrations suivantes, on pourra utiliser ce préliminaire : AECF est un parallélogramme car AE= CF et (AE) parallèle à (CF), donc E et F sont symétriques