Cours Produit Scalaire

17 Rappel sur le calcul vectoriel II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL $ $ $ $ !$ $ $ 1/ GRANDEUR SCALAIRE( $ $%&$ ) Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité correspondante. Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie… ) 2/ GRANDEUR VECTORIELLE( On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité

SOMMAIRE 1 INTRODUCTION 3 2 NOTION DE TORSEUR 3 2.1 Définition 2.1.1 Propriétés liées aux torseurs 2.1.2 Produit ou comoment de deux torseurs 3 4 4 2.2 Torseurs élémentaires 2.2.1 Torseur couple 2.2.2 Torseur glisseur 4 4 4 2.3 Les torseurs de la mécanique du solide parfait 2.3.1 Torseur des efforts extérieurs 2.3.2 Torseur cinématique 2.3.3 Torseur cinétique 2.3.4 Torseur dynamique 4 4 5 5 5 3 6 CINEMATIQUE 3.1 Introduction

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ). (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = ² = 1 Réponse c 3. ⃗⃗⃗⃗⃗ (1 ;0 ;1) ⃗⃗⃗⃗⃗ (0 ;1 ;1) sont 2 vecteurs non colinéaires. Ce sont donc des vecteurs de base du plan Il faut donc que le produit scalaire du vecteur normal au plan avec ces 2 vecteurs soit nul. A(0 ;0 ;0) : ce ne peut donc être l’équation a. Dans l’équation b : le vecteur normal est ⃗ (1 ;-1 ;1). Mais ⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 + 1 = 2 Dans l’équation c : le vecteur normal est ⃗ (-1 ;1 ;1)

. . . . Révision 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Section 4.1 : Les caractéristiques d’un vecteur . . . . . . Section 4.2 : Les opérations sur les vecteurs . . . . . . . Section 4.3 : Combinaison linéaire et produit scalaire Chronique du passé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le monde du travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Banque de problèmes . . . . . .

diamètre du cercle Sylvain MATON – ORAL 2 – 14 novembre - Thème: Géométrie au collège 6/14 circonscrit, et de sa réciproque (4ème) Niveau lycée : • par la géométrie analytique en introduisant un repère orthonormé (2nde) • par les vecteurs et le produit scalaire (1ère S) • par les homothéties (BTS) Voici 3 corrigés possibles : 1 niveau 4ème, 1 niveau 1ère S et 1 niveau BTS. Dans les 3 démonstrations suivantes, on pourra utiliser ce préliminaire : AECF est un parallélogramme car AE= CF et (AE) parallèle

Produit scalaire ! ! On se place dans le plan P muni d’un repère orthonormé O; i ; j . On notera P le plan de vecteurs associés. On supposera connue la notion de vecteurs, somme de deux vecteurs, de norme de vecteur, d’othogonalité, de projection orhogonale. ! ! Dans le repère O; i ; j orthonormé, on considère A ( 2; 4) B ( 1; 4) et C (2; 2) B C O A p ! ! ! ! ! Le vecteur AB = OB OA d’où AB (1; 8) et AB = 65; de même p p ! ! ! AC (4; 6) et AC = 52 et BC = 13. On en déduit que ABC est rectangle

Document créé le 8 février 2014 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 19 Espaces préhilbertiens réels Sommaire 19.1 Produit scalaire, norme et distance . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel . . . . . . . . 19.1.2 Norme et distance associée . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . .

est défini ainsi : J W = F x AB x cos α N m °  AB est le déplacement, rectiligne, du point d’application de la force.  L’angle α est l’angle formé par les vecteurs F et AB.  Remarque : Mathématiquement, il s’agit d’un produit scalaire : W = F. AB Schéma :  On pousse de manière oblique un bloc rectangulaire d’un point A à un point B. W = F x AB x cos α Remarques :  L’angle α peut être nul, si le déplacement se fait dans le même sens que la force.  Le travail

Soient A, B, C, M et N cinq points distincts du plan, v´erifiant AM 2 − AN 2 = BM 2 − BN 2 = CM 2 − CN 2 . Montrer que A, B et C sont align´es. Solution. Il existe de nombreuses mani`eres de r´esoudre ce probl`eme. Pour ceux qui connaissent le produit scalaire, la m´ethode classique consiste `a ´ecrire −−→ −−→ −−→ −−→ − → −−→ AM 2 − AN 2 = (AM + AN )(AM − AN ) = 2AI · N M − → −−→ −→ −−→ en appelant I le milieu de [N M ]. On a donc AI · N M = BI · N M d’o` u l’on d´eduit − → −→ non pas que AI = BI («

de ⃗u . Propriété 1 : - Dans un repère orthonormé, le vecteur ⃗u de coordonnées (x ; y) a pour norme ∥⃗u∥=√ x2 + y 2 - Pour tout nombre réel k, on a ∥k ⃗u∥=∣k∣×∥⃗u∥ I) Définition et 1ère expression 1. Définition 1 2 2 2 2 Définition 2 : Le produit scalaire de ⃗u par ⃗v est le nombre réel noté ⃗u .⃗v défini par : ⃗u .⃗v = (∥⃗u∥ +∥⃗v∥ −∥⃗v −⃗u∥ ) 1 2 ⃗ . AC ⃗ = ( AB 2 + AC 2 −BC 2) ⃗ et ⃗ ⃗ , alors AB Remarque : Si on note ⃗u= AB v = AC Propriété 2 : Pour tous vecteur u⃗ par v⃗ , on a que si ⃗u=