Cours Produit Scalaire

III - C Application Du produit scalaire 1) Coordonnées d'un vecteur dans un repère orthonormal Soit vec u (x;y) dans un repère orthonormal(O;vec i;vec j ) Le vecteur vec i a pour coordonnées (1;0) donc vec u .vec v = xx'+ yy' = x * 1 + 0*y = x le vecteur vec j a pour coordonnées (0;1) donc vec u. vec j = y newline Dans un repère orthonormal ( O ; vec i ; vec j ), un vecteur vec u a pour coordonnées( vec u .vec i ; vec u . vec j ) Ex : si on a vec u. vec i = 3 et

2xy + 2y 2 1. D´montrer que ϕ d´finie sur R2 × R2 ` valeurs dans R par : e e a ϕ : ((x, y), (x , y )) → xx + xy + x y + 2yy . est un produit scalaire sur R2 . → → Notations : les vecteurs de R2 , − = (x, y) et − = (x , y ) ´tant donn´s, on u u e e → → − ,− . ´crira : ϕ((x, y), (x , y )) = u u e → → 2. Construire une base B = (− , − ), orthonorm´e pour le produit scalaire ϕ, e1 e2 e → − = (1, 0). contenant le vecteur e1 On demande, de plus, de choisir e2 = (γ, δ), avec δ > 0. ´ Ecrire les formules de

vérifie zB '= ( 2 − 2i )( −4 + 2i ) + 1 = −3 + 12i = −3 ( 1 − 4i ) . b. Pour montrer que les droites (CB’) et (CA) sont orthogonales, il suffit de montrer que les vecteurs CB '−4 + 8i ) et CA ( 2 + i ) sont orthogonaux. ( Attention, pour parler de produit scalaire il faut revenir aux coordonnées cartésiennes. On a donc CB ' −4 8 2 1 1 5 et CA et on vérifie bien que CB ' = 0 . .CA Les droites (CB’) et (CA) sont bien orthogonales. 3. Soit M d’affixe z = x + iy où on suppose que x et y sont des

Exercice 1 : 1) Montrer que l’équation : 4X2 + 7X – 2 = 0 admet (-2) comme racine. En déduire l’autre racine. 2) En déduire : a) la résolution de l’équation : 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) la résolution de l’inéquation : 3 – 2 x < 0 4x2 + 7x – 2 Exercice 1 : On considère un segment AB tel que AB = 6 cm 1) Justifier l ‘existence du point G barycentre de (A

récupérer les données bn, on effectue un produit scalaire avec le code associé gn : , , √ √ Or, les gk sont orthogonaux, Donc On obtient donc 0 1 , √ On comprend ainsi le principe du CDMA et comment le produit scalaire avec le code gk permet de récupérer les données de chaque utilisateur. Le signal reçu en réalité est évidement bruité. Récepteur bruité ù . Dans le cas d’un seul utilisateur En effectuant le produit scalaire selon le principe du cas non bruité,

  méthodes   pour   en   déterminer   son  sens  trigonométrique et sa valeur. S'il  y  a plusieurs  forces,  il  faut  additionner  les  moments  en  prenant en compte leur signe. I. MÉTHODE DU PRODUIT VECTORIEL : Cette méthode fonctionne dans la majorité des cas. Elle consiste à faire le produit vectoriel de  vecteur distance (entre le point et le point d'application de la force) et le vecteur force. Avec l'énoncé I(10;12;0), J(12;15;0) (en m) et  150 ; 30 ; 0 (en N). F     Ici cela donnerait :

Chapitre I I ´   I.. Calcul vectoriel I..1. Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois vecteurs d’une base orthonormée (ux , u y , uz ), on se retrouve toujours dans un des deux cas suivants : Le choix d’une base directe permet de déterminer (cf. figure) le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) dans lequel est compté positivement l’angle entre deux

respectivement engendrés par  i ,  0  et −2i. An d'obtenir une 1 1 1 base orthonormée de vecteurs propres, il sut de normaliser ces vecteurs (lesquels, en vertu de la théorie générale, sont automatiquement orthogonaux les uns aux autres pour le produit scalaire hermitien canonique sur C3 ). Ainsi P et D dénies par  6 0 0 0  D = 0 18 0 0 −24  et i √  3  i  P = √  3  1 √ 3  i −√ 2 0 1 √ 2  i √ 6  2i   −√  6 1  √ 6 conviennent, ce que l'on peut, après coup, vérier directement

M1 – M´thodes e ■ Erreurs ` ´viter ae ! La m´canique est une science vectorielle : les fl`ches sur les vecteurs sont obligatoires 1 . e e −−→ −− → Il est interdit d’identifier un vecteur ` un scalaire : « vecteur = scalaire » n’a aucun sens ! a − → − → → − → Des pseudo-égalités du style ? = −?(? − ?0 ), 0 = ?− + ? ou − ?/ℛ = ?? sont non seulement ? ?− → (1) totalement incohérentes mais (2) très mal perçues au concours. ! Toujours commencer par faire un dessin représentant la

a :  si AB  CD  alors A' B'  C' D' (on dit une isométrie conserve le produit scalaire). A' B'  A' C'  AB  AC (3) Soient A, B, C, D, E et F six points du plan et A' , B' , C' , D' , E' et F' leurs images respectifs par une isométrie du plan et soient a et b deux réels. si EF  a AB  b CD alors E' F'  a A' B'  b C' D' 3) Conséquences : Th 1 : Toute application f :P  P qui conserve le produit scalaire est une isométrie du plan.  Th 2 : Toute isométrie conserve l’alignement.