Produit scalaire
! !
On se place dans le plan P muni d’un repère orthonormé O; i ; j .
On notera P le plan de vecteurs associés. On supposera connue la notion de vecteurs, somme de deux vecteurs, de norme de vecteur, d’othogonalité, de projection orhogonale.
! !
Dans le repère O; i ; j orthonormé, on considère A ( 2; 4) B ( 1; 4) et C (2; 2)
B

C

O

A

p
!
! !
!
!
Le vecteur AB = OB OA d’où AB (1; 8) et AB = 65; de même p p
!
!
!
AC (4; 6) et AC = 52 et BC = 13. On en déduit que ABC est rectangle en C.
!
!
!
Si l’on note AC = ! u et CB = ! v alors AB = ! u +! v alors
2
k! u +! vk 2 k! uk

2
On s’intéresse à l’expression k! u +! vk !
!
vecteurs quelconque u ; v :

1

2 k! vk =0

k! uk 2

k! v k pour deux
2

1

Di¤érentes expressions du produit scalaire de deux vecteurs

C

D

r v r r u+v θ

θ

A

r u H

B

On a :
2
k! u +! vk AH 2 + HD2 AB 2

(AH

2
2
k! uk k! vk BH 2 + HD2

BH) (AH + BH)

= AD2
= AH 2

AB 2

=

AB 2
BH 2

AC 2 =
AB 2 =

2AB:BH

Remarquons que BH = BD cos = AC cos et donc
2
2
2
k! u +! vk k! uk k! v k = 2AB:AC cos
Faire le calcul dans la situation suivante :

C

D r r u+v r v θ

π −θ r u

A

et l’on véri…e que dans ce cas :
2
2
2
k! u +! vk k! uk k! vk AH 2 + HD2 AB 2
BH 2 + HD2
(AH

BH) (AH + BH)
AB (AH BH

H

= AD2
= AH 2

B

AB 2
BH 2

AC 2 =
AB 2 =

AB 2 = (AH BH) (AB)
AB) =
2AB:AH
2

AB 2 =

Remarquons BH = BD cos (
2
k! u +! vk )=

2 k! uk

AC cos et donc

2 k! v k = 2AB:AC cos

Dans les deux cas on peut conclure :
2
2
2
k! u +! vk k! uk k! v k = 2 k! u k k! v k cos (! u;! v)

On remarquera que lorsque les deux vecteurs ! u et ! v sont orthogonaux, on retrouve le théorème de pythagore sous la forme
2
2
2
k! u +! vk k! uk k! vk =0

Dé…nition : Soit deux vecteurs ! u et ! v de P, non nuls, on dé…nit le produit scalaire de deux vecteurs et on note
1 ! ! 2
2
ku + vk k! uk
2
= k! u k k! v k cos (! u;! v)

! u :! v =

1.1

2 k! vk

Exemples de calcul de produit scalaire
! !
Dans les exemples suivants calculer le produit scalaire AB:AC
C