Cours Produit Scalaire

Vecteurs et torseurs I. Rappels de quelques notions fondamentales. 1. Grandeurs physiques. Une grandeur dite scalaire est caractérisée par un nombre (« intensité ») et une unité. Exemple : La température s’exprime en degré Kelvin (K). Une grandeur vectorielle est caractérisée par un vecteur et une unité. Un vecteur est lui-même caractérisé par un sens et une norme. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ avec norme de ⃗ , ‖ ⃗ ‖ et AB distance entre les points A et B. 2. Unités. Le système international est basé sur les 7 grandeurs

Bases hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes

sur ]-1,1[. Pour f et g éléments de E, on pose f , g = ∫ 1 −1 dt. 5. a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si ∫ 1 −1 h(t ) 1− t2 d t = 0 alors h est la fonction nulle. b) Montrer que , définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des

P.C.S.I.1 Devoir en temps limit´ n◦ 7. e Mercredi 9 f´vrier 2011 de 13 ` 16h. e a Une fois encore, les calculatrices sont interdites. Exercice 1 1. Question de cours (a) Lorsque f est un projecteur, exprimer ses ´l´ments caract´ristiques sous forme de noyaux d’endomoree e phismes d´pendant de f . e (b) Mˆme question lorsque f est une sym´trie. e e     − y − 3z  x          2. Soit f l’endomorphisme de R3 d´fini par y  →  2x + 3y + 6z . e             z −x −

racine double z0 et on peut le factoriser comme suit : o P (z) = a(z − z0 )2 . Si ∆ < 0 et si a, b et c sont des nombres r´els, alors les racines z1 et z2 sont conjugu´es et la factorisation e e est alors : P (z) = a(z − z1 )(z − z1 ). c Somme et produit des racines : z1 + z2 = −b et z1 z2 = a . a 3.3 1. 2. 3. 4. 5. 6. Transformations ponctuelles du plan → translation de vecteur − , d’affixe a : z ′ = z + a. u Rotation de centre O et d’angle α : z ′ = zeiα . Rotation de centre z0 et d’angle

et DIFJ est un parallélogramme. Pour établir que DIFJ est un losange, il suffit de démontrer que ses diagonales sont perpendiculaires, ce qui revient à démontrer que le produit scalaire DF . IJ = 0. Or DF (1; – 1 ; 1) et IJ (0; 1; 1). Donc DF . IJ = 0 – 1 + 1 = 0. Donc DIFJ est un losange. L’aire d'un losange est égale au produit des longueurs 2 2 2 2 2 2 DF IJ 3 2 6 1 1 1 0 1 1 des diagonales divisé par 2; l'aire de DIFJ est égale à = = = . 2 2 2 2 b. Pour vérifier que le vecteur n (2; 1; – 1) est

z'-w=k(z-w) complexe de transformations t, t E C : z' = z + t M(z) t-7 M'(z') Translation de vecteur de centre D d'affixe n d'affixe w, WE C, et de rapport k E IR* B. Geometrie • Produit scalaire de deux vecteurs non nuls du plan B o • Produit scalaire et coordonnees Si ~ A B' IT et V admettent pour coordonnees de I'espace alors respectives (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z') dans un repere orthonormal Une equation IT. '1= xx' + yy' + zz' coordonnees

l’action de trios forces présenté a M. Hegazi Ecole Oasis Internationale Physique 14 octobre 2012 1. PARTIE 1 : I. Préparation : * La nature d’une force : On a deux genres de forces, la force scalaire et la force vectorielle. * La force scalaire : Cette force est définie par une valeur * La force vectorielle : Cette force est définie par la valeur, le sens, la direction et le point d’application. * Conditions d’équilibre : * Les conditions d’équilibre

ces phénomènes. L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs. On appelle champ scalaire un champ qui, à tout point de l'espace, associe un réel. On appelle champ vectoriel un champ qui, à tout point de l'espace, associe un vecteur. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs. Le gradient, la divergence et le rotationnel

= MA 2 + AI . AJ = MA 2 − AI × AJ (car AI et AJ col de sens opposés) Ainsi M est tel que MA 2 − 2,5 2 = 6 i.e MA = 3,5 donc M est sur le cercle de centre A et de rayon 3,5. EX 3 1) ABCD losange donc AB + AD = AC et avec la définition 1 du produit scalaire : 2 2 2 1 1 AB . AD = ( AC − AB − AD ) = (10 2 − 2 × 34) = 16 ( 34 avec pythagore…) 2 2 2) P étant le projeté orthogonal de D sur la droite (AB), AB . AD = AB . AP . 16 AB et AP étant col de même sens AB . AP = AB × AP = 34 AP donc AP = 34 EX