Cours Produit Scalaire

courbures totale et moyenne. Pour tout entier n > 0, l’espace Rn sera muni de son produit scalaire et de sa norme usuels notés respectivement (.|.) et . . La première partie est consacrée à des préliminaires algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, .

Exercices supplémentaires : Produit scalaire dans l’espace Dans tous les exercices, sauf quand cela est précisé, on considère un repère orthonormal de l’espace ; ; ; Partie A : Repère et vecteurs coplanaires Exercice 1 1 On considère la droite passant par 2; 1; 1 et de vecteur directeur 1 . 1 Pour chacun des points suivants, précisez s’ils appartiennent à : 3; 0; 0 ; 5; 2; 1 ; ; ; ; 2 √2; 1 √2; √3 1 Exercice 2 On considère les points 2; 3; 2 et 5; 1; 0 . . Exercice 3 Les points 1; 1; 0 , Exercice

DM de mathématiques. Dérivation – Produit scalaire. Exercice 1 Pour les fonctions f suivantes, calculer f '( x) .( On ne demande pas les ensembles de définition de f et de f’’ et on présentera le résultat de façon à ce que le signe de f '( x) soit aisé à étudier ) 3 x 3 x 2) f ( x)  x2 x2 5 2x  5 (2 x  3) 4) f ( x)  5) f ( x)  3 (4 x  7) 2x  3 1) f ( x)  3) f ( x)  x 2  3x  7 x 2  3x  5 2 6) f ( x)   3x  1 x2 Exercice 2 1 3 On considère les fonctions

la courbe au point M (x(t), y(t)). Donc un vecteur directeur de la tangente à C1 en M1 (0) est :   8 − → x′ (0) − − → 3  − 1 = V (0)  √  V (0) ′ 8 3 y1 (0) 9 −→ − −−→ −− (c) Le vecteur V (0) est orthogonal au vecteur OM (0) car leur produit scalaire est nul :     4 8 −→ −−→ − −− x′ (0) x1 (0)  3   9 1 √  V (0) · OM (0) = · = √ · ′ 8 3 4 3  y1 (0) y1 (0) − 9 9 5 De la même façon, un vecteur directeur de la tangente à C1 en M1 (1) est :   8 − − → 3  − − → x′ (1) − 1 = V

DS1 Suites Produit scalaire Terminale S3 02/10/2012 Exercice 1 1. Soit [pic]un réel strictement positif. Démontrer que, pour tout entier [pic], [pic] 2. Montrer que pour tout réel [pic] [pic]. Exercice 2 La suite [pic]est définie pour tout entier naturel [pic]par [pic] 1. Montrer que pour tout entier naturel [pic], [pic] 2. Quel est le comportement de la suite [pic]en [pic] ? Exercice 3 La suite [pic]est définie par [pic]. 1. Montrer que pour tout entier naturel

fortes. Euclide a d’ailleurs été le premier vrai « animateur » des mathématiques (III av JC)  explicitant sa théorie géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwartz et

et alors : Dans l'espace, si le vecteur a pour coordonnées Si les points et alors : , sa norme s'écrit : ont pour coordonnées respectives 2 et 2 dist(AB)=AB=||AB||=(Xb-Xa) +(Yb-Ya) +(Zb-Za) 2 1.2 PRODUITS SCALAIRES Le produit scalaire des vecteurs u (x ; y ) et v (x ; y ) est u.v=(x ; y ).(x ; y )= x . X 1 + y1. y2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Propriétés : Quels que soient les vecteurs u, v et w et le réel r, on a : • u.v=v.u (commutativité)

"nombre de cas favorables" = En cas d'équiprobabilité P(A) = nombre d'éléments de " "nombre de cas possibles" ! Proba de B sachant A : PA (B) = ! P(A " B) ; si A et B sont indépendants P(A " B) = P(A) # P(B) P(A) TRIGONOMETRIE - PRODUIT SCALAIRE ! Formules d'addition cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b Formules de duplication cos(2a) = cos2 a – sin2a = 2cos2

Premi` re S e qoeirgbe qogijqer giqo vqmeo vqe bqmoieh Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire −→ −− − −→ Pour les sept figures suivantes, calculer AB · AC . Exercice 2 : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure ci-contre, on a tracé deux cercles de centre O et de rayons respectifs 2 et 3. 1) Calculer les produits scalaires suivants : −→ −→ − − a) OI · OJ −→ −− − −→ b) OI · OK −→ −− − −→ c) OI · OB −− −− −→ −→ d) OB · OA paul milan

avril Problème 1: [Un exemple de structure euclidienne]1 On considère l’espace vectoriel E = Rn [X]. Pour P, Q ∈ E on pose : n P |Q = i=0 P (i)Q(i). Partie I 1. Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur E. On notera P euclidienne du polynôme P associée au produit scalaire précédent. 2 la norme 2. Montrer qu’il existe une unique famille (L0 , ..., Ln ) de E telle que Li (j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une