Sylvain MATON – ORAL 2 – 14 novembre - Thème: Géométrie au collège

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(Préambule)- Proposition de résolution de l'exercice:
– Les pré-requis pour cette résolution sont: Construction d'un losange, connaître certaines propriétés du losange, en particulier ses diagonales, notions sur les distances, le théorème de PYTHAGORE (puisque le niveau est collège), le théorème de la droite des milieux et ses corollaires, (et éventuellement le théorème de THALES selon la résolution choisie), savoir retranscrire un énoncé dans un schéma (ou un logiciel de géométrie dynamique), les propriétés d'un parallélogramme.
– Le niveau concerné est 4ème, puisqu'on applique le théorème de PYTHAGORE et du théorème de la droite des milieux (ou THALES)

L'exercice:

1. Un losange ABCD a pour coté 27,4 cm. La diagonale [AC] mesure 42 cm.
Combien mesure l’autre diagonale ?
2. E et F désignent les points appartenant respectivement aux segments [AB] et [CD] tels que
AB
CD
AE = et CF =
. La droite (EF) coupe (AD) en I et (BC) en J.
3
3
Démontrer que BDI et BDJ sont des triangles rectangles.
1.

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Soit O, le centre du losange ABCD.
BD
AC
On a alors OB=OD = et OA=OC =
= 21 cm
2
2
Pour mesurer la petite diagonale BD, il suffit donc de mesurer OD, car BD=2×OD
Les diagonales d'un losange se coupant perpendiculairement, le triangle COD est donc rectangle en O. On peut donc appliquer le théorème de PYTHAGORE dans COD.
2
2
2
CD =OD + OC
Donc
OD 2=CD 2−OC 2
En reprenant les données de l'énoncé, on a donc OD²= (27,4)² – (21)² = 750,76 – 441
Donc OD² = 309,76 et donc OD=√ (309,76) =17,6 cm (OD étant une longueur donc 0) et donc BD=2×OD=35,2 cm
2.

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Pour montrer que le triangle BDI est rectangle, il suffit d'appliquer la réciproque du théorème de Pythagore. Pour cela, il faut donc les longueurs ID, BD et BI
➔ BD est déjà connue, puisqu'il s'agit de la question