Cours Produit Scalaire

Inégalité de Poincaré en 1D : Soit a, b ∈ R, soit u ∈ C 0 [a, b] C 1 ]a, b[ et u(a) = 0. Montrer qu’il existe C > 0 : u 0 ≤ C |u| 1 Ex. 12 — Soit Ω un domaine borné et régulier de Rd . On muni H01 (Ω) du produit scalaire << u, v >>1 =< ∇u, ∇v >. 1. Vérifier que H01 (Ω) muni de ce produit scalaire est un espace vectoriel préhilbertien normé. 2. Montrer que toute suite de Cauchy de H01 (Ω) est convergente dans H01 (Ω). En déduire que c’est un espace d’Hilbert. Ex. 13 — Traces,γ0 , H1 (Ω) : On considère

1. Mesures des angles orientes Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. (O ,  , ) est le repère orthonormal direct associé au cercle trigonométrique c de centre O. La droite d, i j tangente à c en A et munie du repère (A , ) représente l'ensemble des nombres réels. j définition : Pour un réel t repéré sur la droite d, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle c par "enroulement" de

second degré ax2 + bx + c de discriminant δ > 0 et ses racines x1 et x2 . Calculer la somme des racines x1 + x2 et le produit des racines x1 x2 en fonction de a,b et c. On considère l’équation 2x2 + 14x − 17 = 0. Montrer que cette équation admet deux solutions et trouver sans les calculer leur somme et leur produit. Trouver deux nombres dont la somme est égale à 27 et le produit est égal à 180. EXERCICE 10 : Résoudre l’équation suivante : x3 + 3x2 − 81x + 77 = 0 0.2 Fonctions : EXERCICE 1

calaire dans l'espace Correction du DM Ch4 : Géométrie - Produit scalaire dans l’espace Exercice 1 (6 points) [pic] 1) a) Calculer les produit scalaires : [pic] et [pic]. Par Chasles [pic] (AD) est perpendiculaire au plan (CDH) d’où (AD) est perpendiculaire à (CH) et[pic] Par projection orthogonale de [pic]sur (DH) : [pic]. Par projec. orthogonale de [pic]sur (HG):[pic]= –1 Finalement [pic]= 0. (0,75 pt) De même [pic]= [pic] =[pic] (0,75 pt)

vecteurs, c'est la somme du premier et de l'opposé du second. Produit ou quotient d'un vecteur par un nombre Le produit ou le quotient d'un vecteur par un nombre est un vecteur de même direction et de longueur multipliée ou divisée par ce nombre. Si le nombre est négatif on change le sens du vecteur. Il est également possible de multiplier deux vecteurs entre eux: c'est le produit scalaire que nous verrons en première. Par contre il n'est pas possible de diviser deux

noyau de W : ker(W ) =  y ∈ W ∑ α i xi = 0 i =1   Opérations sur les vecteurs Somme multiplication ? Vecteur transposé Norme produit scalaire, vecteurs orthogonaux x' = ( x1  xi  xn ) x = ∑ xi = x' x 2 2 i =1 n z = x+ y zi = xi + yi ( x, y ) = ∑ xi yi = x' y ; i =1 n x = ( x, x ) = x ' x 2 {y ∈ R n ( x, y) = 0} Normes et produit scalaire  n : E → R+ norme :   x  n( x ) exemples E = R n ; x =∑ 2 2 n i =1 n  n( x) ≥ 0 positivité  n( x ) = 0 ⇔ x = 0  vérifiant

universitaire 2010/1   Série sur les tableaux    Exercice n°1:.  Ecrire un algorithme qui calcule la somme et le produit des éléments d’un tableau de réels, en effectuant un seul parcours du tableau. Exercice n°2:. Ecrire un algorithme qui recherche le plus grand et le plus petit élément d’un tableau d’entiers.   Exercice n°3:. Ecrire un... algorithme qui calcule le produit scalaire de deux vecteurs d'entiers U et V (de même dimension).  Exemple:  ( 3 2 -4 ) * ( 2 -3 5 ) = 3*2+2*(-3)+(-4)*5

PUISSANCE D'UN POINT PAR RAPPORT À UN CERCLE UNE PROPRIÉTÉ C est un cercle de rayon R et de centre O. I est un point quelconque du plan. Une droite D passant par I coupe le cercle C en deux points A et B. ® ® Il s'agit de démontrer que le produit scalaire IA . IB est indépendant de la droite D. ® ® 2 2 On considère le point A' de C diamétralement opposé à A. Démontrer que IA . IB = IO – R Cet invariant remarquable est appelé la puissance du point I par rapport au cercle C. APPLICATION D'un point

Espaces m´triques (en fait evn) e Exercice 1. Ouverts disjoints ◦ ◦ Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e ◦ Exercice 3. U = U . ◦ Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re

fonction, sur un intervalle. Dérivée des fonctions x x 3 semaines x a a, x a x, x a x ², x a x3 , x a cos x, x a sin x, x a ln x, x a e x , x a eax 1 dérivée de la fonction x a l’intervalle ne contenant pas 0. x Dérivée d’une somme, d’un produit par une constante, d’un inverse et d’un quotient. Application à l’étude du sens de variation d’une fonction : si la fonction f admet une dérivée nulle sur l’intervalle I, alors la fonction 6 semaines f' f est constante sur cet intervalle