Cours Produit Scalaire

de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre 2003 à début

e que le sujet est extr^mement vaste, en particulier en ce qui concerne les transformations canoniques et e les liens avec la m¶canique quantique, brµve aussi parce que le formalisme hamiltonien ne sera guµre e e e utilis¶ en grand d¶tail dans les cours de premiµre ann¶e. e e e e 17 18 Chapitre 1 Formulation lagrangienne 1.1 Description du systµme: coordonn¶es g¶n¶ralis¶es e e e e e Nous consid¶rerons donc un systµme compos¶ de N particules mat¶rielles rep¶r¶es par un indice grec

≤ 0, où lim ε(t) = 0, donc quand t tend vers 0, on obtient Qa (u) ≤ 0, donc Qa est négative. 1.2.3 Comme Qa est négative, alors ∂2f (a) = (Ha (ei )|ei ) = Qa (ei ) ≤ 0. ∂x2 i Où (e1 , e2 , ..., en ) désigne la base canonique de Rn et (.|.) le produit scalaire canonique. En particulier n ∂2f f (a) = (a) ≤ 0. ∂x2 i i=1 CNM2010IMPC.tex - page 1 t→0 1.3 Applications aux fonctions harmoniques 1.3.1 f est une fonction continue sur la partie compacte K, donc elle bornée et atteint ses bornes. 1.3.2

´ ´ ´ ´ Resume du Cours d’Econometrie Yves Till´ e 16 d´cembre 2008 e Avertissement ´ Ce document n’est pas un compte rendu exhaustif du cours d’Econom´trie, mais un r´sum´. Il reprend e e e les principaux d´veloppements, mais il est compl´t´ au cours par de nombreux graphiques, commentaires, et e ee approfondissements. Nous remercions J´rˆme Taillard pour la pr´paration de plusieurs exercices, Guido Pult e o e pour nous avoir donn´ plusieurs exercices et Ines Pasini pour son aide ` la dactylographie

le pilier des mathématiques. Cependant, bien qu’ayant permis d’élucider certains mystères, elle conserve de nombreuses failles dans l’étude d’objets ne correspondant pas aux notions de droite, de plan, de longueur et d'aire formant le support des cours de géométrie élémentaire. En s’appuyant sur de nombreuses recherches effectuées par divers mathématiciens avant lui, Benoît Mandelbrot démontre dans les années 1970 la présence d’une nouvelle famille d’objets mathématiques aux propriétés étonnantes

que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres. L’expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d’avoir 2 effectué le trajet à vélo est . 3 Calculer la probabilité qu’au cours des six prochaines années l’épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent « non cycliste ». Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats u0 u n+1 = = 1 2 u n − ln u n + 1 pour tout entier naturel n. PARTIE A Soit f la fonction définie

JOCELYNE BEN AÏM - NORBERT PICCIOLI 100% 1re et 2e années ÉMILE AMZALLAG - JOSEPH CIPRIANI - JOCELYNE BEN AÏM - NORBERT PICCIOLI Cours et exercices corrigés Ce manuel couvre les notions d’électrostatique et d’électrocinétique abordées lors des premières années de licence. Chaque chapitre débute par des rappels mettant l'accent sur les points fondamentaux du cours, illustrés d'exemples classiques et d’exercices d'application. Ces rappels sont suivis d'exercices de difficulté croissante accompagnés

vectoriel normé E telle que E = E1 ∪ E2 . Montrer qu’une application f : E → F est continue si, et seulement si, ses restrictions f1 et f2 au départ de E1 et de E2 le sont. Exercice 10 [ 02637 ] [correction] On note (. | .) le produit scalaire canonique sur Rn et . le produit scalaire associé. On rappelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz : : si x, y ∈ Rn , (x | y) x y avec égalité si, et seulement si, x et y sont colinéaires et de même sens. a) Soit x, a, b ∈ Rn tel que a = b et x − a = x − b . Montrer que

= M ( x y∗ ) = lim M T ( x y∗ ) T→∞ (3) I.E.1) Si E est un espace vectoriel inclus dans M 2 , montrer que deux fonc2 2 tions x, y ∈ E sont comparables (développer x + y et x + iy ). Il en résulte que sur E , ( x, y ) a est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier M x+ y 2 = M x + M y + 2 Re 2 2 (4) I.E.2) On dira que deux fonctions x, y ∈ 2 Que vaut alors M x + y ? I.E.3) M2 ,

lin´aire par rapport ` sa seconde variable. De plus B(P, P ) ≥ 0 e e a et n’est nul que si ∀i ∈ [|0, n|], P (xi ) = 0. Si P ∈ Rn [X], on peut en d´duire que P = 0 (un e polynˆme non nul de degr´ n admettant au plus n racines). Ainsi, B est un produit scalaire sur o e Rn [X]. Le r´sultat est faux sur C(R, R) car P = n (X − xk ) ∈ C(R, R) est non nul mais v´rifie e e k=0 B(P, P ) = 0. 1.2. On a imm´diatement e 1 si k = j Lk (xj ) = δk,j = } 0 sinon On en d´duit que e ∀k, i ∈ [|0, n|], B(Lk , Li ) = Li