Théorème de Pythagore

2 Coordonnées du milieu d’un segment Théorème : (admis) Soit (O, I , J) un repère du plan et A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) deux points du plan. Les coordonnées du milieu I de [AB] sont : xI = xA + xB 2 et Exercices : 1, 2, 3, 4, 5 page 189 3 [TransMath] 2. Coordonnées de points. 3. Coordonnées du milieu. 3 yI = yA + yB 2 1.3 Distances dans un repère orthonormé Activité : Activité 2 page 185 4 [TransMath] Théorème : Dans un repère orthonormé, on considère deux

points suivants : D tel que ABCD soit un parallélogramme ; E symétrique de A par rapport à C ; F tel que 3 BF = BC ; G milieu de [ BC] ; H tel que DH = −2OG . 2 Montrer que DEF sont alignés et que (EH) et (AF) sont parallèles. En utilisant le théorème de Pythagore, montrer que DGH est rectangle en H. II. Soit un triangle ABC , G son centre de gravité et I le milieu de [ AB] (on rappelle que 2 CI ). On considère les points D, E et F définis par 3 1 AD = AG + AB ; BE = − BA et AF = 3AG . 2 1 Montrer que

fixées entre elles vers le milieu, chacune possédant une pointe à chaque extrémité. L'astuce est que les deux branches sont fixées de manière à ce que le point de fixage se trouve sur les points d'or des branches. Ainsi, par une simple utilisation du théorème de Thalès, si vous écartez deux des pointes sur un segment, les deux autres pointes correspondront au segment considéré, multiplié ou divisé par le nombre d'or. Le nombre d'or en architecture: La première utilisation connue du nombre d'or est due

(KC)//(PA) De plus : ( et ( Donc selon le théorème de Thalès : ( La distance d’éclairage des feux est donc d’environ 46 mètres. Exercice 7 1) On calcule le volume de la botte de paille en Le poids est alors en kg : Soit en tonnes : 0,0127575 tonnes On trouve ensuite le prix : : 2) Il faut calculer l’aire de la partie grisée. Celle-ci est de forme rectangulaire. On connait la longueur qui est de Pour trouver la largeur, il faut utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle JIF rectangle en I On

identités remarquables : [pic] EXERCICE 6: ABC est un triangle rectangle en A ; x désigne un nombre positif ; BC = x + 7 et AB = 5. Montrer que : AC² = x² + 14x + 24 Réponse : ABC est un triangle rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² soit AC²= BC² - AB². D’où : AC²= (x + 7)² - 5² AC² = x² + 14x + 49 – 25 AC² = x² + 14x + 24 EXERCICE 7: [pic] 1) Exprimer en fonction de x l’aire A1 du rectangle ABCD (développer l’expression obtenue). 2)

3 | 9.57 | 7.51 | 6.3 | 60° | 8.3 | 4.7 | 9.54 | 8.49 | 4.9 | 70° | 9.0 | 3.3 | 9.59 | 9.21 | 3.35 | | | | | | | Moyenne | - | - | 9.63 | - | - | 3. Voir schéma feuille annexe 4. Fcomb =Ft2 + Fn2 -> Selon le théorème de Pythagore Si Ft et Fp sont des cathètes, alors Fcomb est l’hypoténuse Fcomb est l’effet global de la Fp// et Fp Fcomb= Fp 5. Fn= Fp=Fp cos Ft=Fp//=Fp sin 6. A 20°, la gomme ne glisse pas à cause des forces de frottements. La gomme

parallèle à (EF), mais aussi perpendiculaire à AD, la droite (EF) est perpendiculaire à AD. Comme le point ‘’I’’ est confondu dans la droite (EF), on en déduit que (EI) est perpendiculaire à (AD) donc le triangle EDI est rectangle en E. D’après le théorème de Pythagore, on a : DI² = ED² + IE². On peut donc avoir EI : Si on exprime IF en fonction de ED (ED ici sera remplacé par ‘’x’’ ) , on a : b) L’aire de la surface jaune en fonction de ED (ED ici sera remplacé par ‘’x’’ ) est équivalente à :

de l’équation sont – )) et )). Exercice n°5 : Dans le triangle IJK rectangle en J, on a : cos = )) Donc IK*cos =JK IK*cos 50=8 IK= )) IK12,4 cm à 10-1 près. Exercice n°6 : 1°) Dans le triangle ABC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore, on a : AC2=BA2+BC2 3,=3,+ =3,-3,=0,9375 BC= BC97 cm 2°) Dans le triangle ABC rectangle en B, on a : sin = ))= )) Donc 72° arrondi au degré. Exercice n°7 : 1°) (a+5)2=a2+10a+25 2°) (3x-4)2=9x2-24x+16 3°) (6x+1)(6x-1)=36x2-1

Donc un côté du carré mesure √ ABC est un triangle rectangle isocèle en B. D’après le théorème de Pythagore, on a : -3 - Livret 3ème-2nde (correction) Exercice 7 : Je sais que dans le triangle ABC : AB = √ , BC = √ et AC = AB² = √ ² = √ . AB est la plus grande longueur du triangle. Je calcule AB² et BC² + AC² : BC² + AC² = ( ( Donc AB² = BC² + AC² √ ) √ ) D’après la réciproque du théorème de Pythagore, je conclus que le triangle ABC est rectangle en C. 5. EQUATIONS Exercice 1 : (E1) :

sur http://www.mathovore.fr - Page 4/9 la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur , que l‘on note . Preuve : I milieu de [AA‘] et J milieu de [A‘A‘‘] On en déduit que d‘après le théorème des milieux (étudié en quatrième). cqfd V. Coordonnées dans un repère : 1. Repères : Trois points non alignés O,I,J ,tels que souvent , définissent un repère du plan. On note 2. Coordonnées d‘un vecteur. Propriété : Ce document a été