Théorème de Pythagore

la réciproque du théorème de Thalès, = ED EC les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Calculer la longueur du segment [AB]. On peut alors appliquer le théorème de Thalès (les données EB EA AB CD×EA 15×7,2 ont été vérifiées dans le 1.) : . Alors AB= = = = =9 . ED EC CD EC 12 3. Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires. Dans le triangle CDE : CD2=15 2=225 , et ED2 + EC 2 =92 +122 =81+144=225 . ED2 +EC 2 =CD2 , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE

154 et NP² = 3² 22² = 9x22 = 198 Dons si le triangle est rectangle, c’est en M car NP est le plus grand côté (car NP² est le nombre le plus grand) On a NP² = 198 et MP² + MN² = 154+44= 198, donc NP²= MP² + MN² donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M 2/ A triangle rectangle=1erCoté angle droit x 2èmeCotéangle droit 2=2 11 154 =2 11  1114 =211 14 =22 14 cm² EXERCICE 3 : 1/b/ 181 – 52 3 > 0 donc on peut écrire ce nombre sous une racine

u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs: u et v de E , u  v  u . v = 0 5) Théorèmes de Pythagore: 2 2 a) Théorème de Pythagore: Démontrer que: u  v  u  v puis interpréter graphiquement 2  uv b) Théorème de Pythagore généralisé: A ; B et C sont trois points de E , on pose: BC = a ; CA = b et AB = c 2    (on utilisera les lettres: a ; b et c ) i) Ecrire sous deux formes différentes: 

trouvé un cercle dont nous avons mesuré le rayon r. -il nous a fallu, par la suite, R que nous avons calculé précédemment. - une fois R et r connu nous avons appliqué le théorème de Pythagore afin de trouvé L. Ainsi nous connaissons les longueur L et l, nous pouvons maintenant calculé d à l’aide de la formule suivante : d=L-l Nous avons illustré ces calculs par un exemple : Nous avons donc gonflé un ballon dont le volume

+ i| = 8 √ Donc, OA1 = A0 A1 = 8 2 et le triangle OA0 A1 est isocèle en A1 . √ (−1)2 + 12 = 8 2. D’autre part, OA0 = |z0 | = |16| = 16 puis √ A1 O2 + A1 A20 = 8 2 2 √ + 8 2 2 = 128 + 128 = 256 = 162 = 0A20 . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle OA0 A1 est rectangle en A1 . Finalement le triangle OA0 A1 est isocèle rectangle en A1 . 2) Soit n un entier naturel. D’après la question 1)c), rn+1 http ://www.maths-france.fr √ 1+i 2 rn . = |zn+1 | = × |zn | = 2 2 1 c Jean-Louis

| |que l‘on note 2[pic] . |   Preuve : I milieu de [AA‘] et J milieu de [A‘A‘‘] On en déduit que AA‘=2 d‘après le théorème des milieux (étudié en quatrième). cqfd [pic] V. Coordonnées dans un repère : 1. Repères : | | |Trois points non alignés O,I

D. Théorème de Thalès : Des // qui coupent des sécantes déterminent sur ces sécantes des segments homologues proportionnels. E. Réciproque du théorème de Thalès : Si 2 droites sont // et si une troisième droite détermine sur ces 2 droites des segments homologues de longueurs proportionnelles, alors la troisième droite est // au deux premières. Elle est utilisée pour prouver que 2 droites sont //. Il suffira de prouver l’égalité des rapports. F. Rappel : Théorème de Pythagore : Dans

est 440 cm 3 2. Calcul de SB Dans le triangle SAB rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a : SB ² = SA ² + AB ² SB ² = 15 ² + 8 ² SB ² = 225 + 64 SB ² = 289 SB = SB = 17 Conclusion: SB = 17 cm 3. On a Sachant que les droites (EA) et (FB) sont sécantes en S, les points S,E,A et les points S, F, B sont alignés dans le même ordre, comme , alors d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (EF) et (AB) sont parallèles. 4. a) Calcul du coefficient

Dans le triangle AIQ, rectangle en I, on a d’après le théorème de Pythagore : AQ² = AI² + QI² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80 Donc AQ = 4 5 Comme (AO) est la bissectrice de l’angle BÂC, on en déduit que OÂI = Dans le triangle AIQ, rectangle en I, on a : ( on note  l’angle BÂC ) Sin    . Ainsi : 2 Â QI =   2  QA Â AI =   2  QA soit Sin   = 2 4 5   Â 4 ou Sin   Â 1 =  5 2 Â 2 =  5 2 Cos   soit Cos   = 2 4 5   Â 8 ou

droites (CD) et (AB) sont parallèles. On applique le théorème de Thalès : OD 6,4 DC OD OC DC     ou OB OA BA 10 8 BA 10  6,4 64 OD 6,4    8 cm donc OD  8 8 10 8 On conclut que OD vaut exactement 8 cm. En particulier Démontrer que les droites (AB) et (EF) sont parallèles On donne que les points A,O,E et B,O,F sont alignés dans cet ordre, OA 8 OB 10   4 et   4 sont égaux. et que les rapports OE 2 OF 2,5 On applique la réciproque du théorème de Thalès. On conclut que les droite (AB) et (EF)