Théorème d'Abel

calculatrice. Pré-requis : – Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ; – Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ; – Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition des limites : « Soient f : D −→ R et g : E −→ R, où D, E ⊂ R tels que f (D) ⊂ E. Soient 2 (a, ℓ, L) ∈ D × R , où ℓ = lim f (x) et L = lim g(x). Alors L = lim g ◦ f (x). » x→a x→a x→ℓ Dans toute la leçon

permet d’engendrer une classe de propositions. Une science de ce type construit entièrement son objet (qui n’a pas d’équivalent empirique) Math Logique géométrie La démonstration dans les sciences formelles Théorème 1 Démonstration Théorème 2 Démonstration Théorème 3 L’axiome originel Euclide Etant donné une droite, et un point en dehors de cette droite, il existe une et une seule droite parallèle a cette droite et passant par ce point. N’a jamais été démontré. Riemann

bien-être des individus. Les deux théorèmes de l'économie du bien-être sont les résultats fondamentaux de la théorie de l'équilibre général telle que formulée par Kenneth Arrow et Gérard Debreu. Sous un certain nombre d'hypothèses contraignantes (concurrence pure et parfaite, homogénéité et continuité des fonctions de production et des fonctions de demande,...), ces auteurs montrent par une démonstration mathématique les deux résultats suivants : Premier théorème : Pour toute dotation initiale, il

intellectuelle, fondées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les fondements et ne dépendent donc d'aucune autre proposition. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif. Un énoncé présenté

quoi commencer la résolution d’un problème. La peur de la page blanche en quelque sorte. Il leur suffirait pourtant d’introduire proprement quelques notations, avec méthode, pour s’en sortir. Imaginez par exemple qu’on vous demande de démontrer le théorème suivant : « Toute fonction réelle croissante définie sur R possède une limite en ∞. » Par où commencer ? Il faut d’abord traduire l’énoncé au moyen de quantificateurs : « Pour toute fonction f : R −→ R, si f est croissante, alors lim f existe

le domaine de l’analyse mathématique moderne. II- Construction de l’ensemble des nombres réels Le critère de convergence d'une suite énoncé par Augustin Louis Cauchy, comme le théorème des valeurs intermédiaires « prouvé » par Bolzano firent vite partie de la panoplie de travail de tout analyste. Mais ces théorèmes semblaient entachés de géométrisme, dérivant de la théorie des proportions que René Descartes avait rattachée à la géométrie. Or, après la découverte des géométries non euclidiennes

La Bibliothèque de Babel, par Jorge Louis Borges L'univers (que d'autres appellent la Bibliothèque) se compose d'un nombre indéfini, et peut-être infini, de galeries hexagonales, avec au centre de vastes puits d'aération bordés par des balustrades basses. De chacun de ces hexagones on aperçoit les étages inférieurs et supérieurs, interminablement. La distribution des galeries est invariable. Vingt longues étagères, à raison de cinq par côté, couvrent tous les murs moins deux ; leur hauteur, qui

l’équation . de est donc l’abscisse de l’unique point d’intersection de droite d’équation . et de la courbe d’équation . est strictement croissante sur . c) est continue et strictement croissante sur . Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel compris entre et admet un unique antécédent dans . Or et et , . donc 1 est compris entre Par conséquent, 1 admet un unique antécédent dans . C'est-à-dire : l’équation possède une unique solution dans .

prolongement mathématique de ARROW et DEBREU. Les œuvres de Walras ont fait l’objet d’importantes recherches mathématiques. En 1954 ils ont écrit un article considéré comme la solution au problème d’existence de l’équilibre général. Ils utilisent le théorème du Point Fixe : toute fonction continue et bornée admet au moins un point fixe. Un système d’équation va converger vers un point d’équilibre si les fonctions d’Offres et de demandes sont continues et bornées. Ils ont besoin d’Hypothèses : 3

SUITES MONOTONES. 1. Convergence des suites monotones. 1.1. Théorèmes de convergence. Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +" Propriété : une suite croissante