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DAO.01

TS.0910 - DST.01 - Corrigé

Terminale S
2010-2011

EXERCICE 1 On considère dans . 1. Soit la fonction définie sur l’intervalle par : a) Déterminer les limites de en . . en 0 et a) Limite de de . sur possède . D’où ; d’où en 1. sur l’équation dans

b) i) Montrer que pour tout réel ,

ii) Étudier le sens de variation de . c) Démontrer que l’équation une unique solution dans Soit ce réel. 2. Démontrer que pour tout réel l’équation . de

Donc

,

est équivalente à l’équation :

Déterminer graphiquement un encadrement de la solution de par deux entiers consécutifs (on utilisera les représentations graphiques des fonctions et ).

Limite de

en

D’où 3. Déterminer la valeur exacte de (on pourra ). Donc

utiliser un changement de variable dans l’équation ou partir de l’équation

4. Résoudre dans .

l’inéquation

TS 2010.2011 –DAO1.CORRIGÉ

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fichier DAO.01

b) i)

est dérivable sur de :

. Pour tout réel

2. Pour tout réel

de

, l’équation : équivaut à

(car

)

Traçons dans un même repère orthogonal les représentations graphiques respectives des fonctions et .

ii) Pour tout réel ; ; ; D’où Par conséquent :

de

:

est l’unique solution dans l’équation .

de

est donc l’abscisse de l’unique point d’intersection de droite d’équation . et de la courbe d’équation .

est strictement croissante sur

.

c)

est continue et strictement croissante sur . Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, tout réel compris entre et admet un unique antécédent dans . Or et et , .

donc 1 est compris entre

Par conséquent, 1 admet un unique antécédent dans . C'est-à-dire : l’équation possède une unique solution dans . Soit ce réel.
TS 2009.2010 – DST.01.CORRIGÉ

Par conjecture graphique, on trouve :

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fichier DST.01

Or 3. dans . (car d’où donc )

Effectuons un changement de variable. Posons . Pour