LEÇON N˚ 72 :
Croissance comparée des fonctions réelles x −→ ex, x −→ xa et x −→ ln x au voisinage de +∞. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Pré-requis :
– Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ;
– Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ;
– Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition des limites : « Soient f : D −→ R et g : E −→ R, où D, E ⊂ R tels que f (D) ⊂ E. Soient
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(a, ℓ, L) ∈ D × R , où ℓ = lim f (x) et L = lim g(x). Alors L = lim g ◦ f (x). » x→a x→a

x→ℓ

Dans toute la leçon, x0 désigne un élément de R.

0

La relation de prépondérance

Définition 1 : Soient f, g deux fonctions ne s’annulant pas sur V (x0 ). On dit que f est négligeable devant g (au voisinage de x0 ) si f (x) lim = 0. x→x0 g(x) x0 On utilisera la notation de Landau : f = o(g) (ou f = o(g) s’il y a confusion).

Proposition 1 :
• La relation o est transitive ;
• Soient f, g deux fonctions ne s’annulant pas sur V (x0 ). Alors la relation P définie par f P g ⇔
(f = g ou f = o(g) est une relation d’ordre. démonstration :
• Soient f, g, h trois fonctions ne s’annulant pas sur V (x0 ) telles que f = o(g) et g = o(h). On utilise la définition : lim x→x0

f (x) g(x) f (x)
= lim
=
h(x) x→x0 g(x) h(x)

lim

x→x0

f (x) g(x) lim

x→x0

g(x) h(x) = 0,

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Croissance comparée de exp, ln et puissance en +∞ donc f = o(h).
• On vérifie facilement que P est réflexive, transitive et antisymétrique.
Ceci achève la démonstration de cette proposition.

Remarque 1 : Puisque la relation o est transitive, on utilisera par commodité la notation de Hardy : f = o(g) ⇔ x0 x

0 f ≪ g (ou f = o(g) ⇔ f ≪ g s’il y a confusion). Cela nous permettra notamment d’écrire plus intuitivement que f ≪ g ≪ h. Dans la suite, on se permettra