SUITES MONOTONES.
1. Convergence des suites monotones.
1.1. Théorèmes de convergence.

Propriété : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. Remarque : cette propriété ne donne pas la valeur de la limite mais uniquement son existence et une inégalité sur la limite. En effet, si (un) est croissante et majorée par le réel K alors pour tout n, un ≤ K et donc d’après le théorème de comparaison lim un # K . n! +"

Propriété : une suite croissante non majorée a pour limite +∞. Une suite décroissante non minorée a pour limite -∞. Démonstration : Soit (un) une suite non majorée, alors pour tout réel positif M il existe un rang k tel que uk > M. Mais comme (un) est croissante, on montre facilement que pour tout n > k , un > uk > M. Les termes de la suite sont donc aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang, ce qui est la définition de lim un = +" . n! +"

Contre exemple : Une suite seulement non majorée n’est pas forcément comme limite +∞. En effet ses termes sont aussi grands que l’on veut mais pas forcément aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang. Il suffit de considérer la suite définie par un = (1 + (!1)n )n .

Propriété : si (un) converge alors elle est bornée. Démonstration : Soit (un) une suite convergente et l sa limite. Notons I = ]l-1 ; l+1[ l’intervalle ouvert centré en l. Alors il existe un rang N tel que si n ≥ N , un ! I . Si N = 0 c’est terminé (un) est bornée par l-1 et l+1. Sinon, soit A = { u0 ; u1 ; … ; uN ; l-1 ; l+1}. A est un ensemble fini il existe donc un plus petit élément m et un plus grand élément M et pour tout n, m ≤ un ≤ M. Donc (un) est bornée.

1.2.

Différents type de démonstration de la monotonie d’une suite.

1.2.1. Technique fonctionnelle.
On l’utilise dans le cas des suites définies de manière explicite. On utilise de fait que si f est (dé)croissante alors un = f(n) est (dé)croissante. Exemple : un = cos

! définie pour tout n ≥ 1. n ! ! ! un =