Sîn

(x + 1)] = lim 2 = 0 x→+∞ x→+∞ x donc la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à en + ∞. Reconnaître l’existence d’une asymptote verticale. 4 a) lim (ex – 1) = 0. Si x > 0, ex > 1 donc lim f (x) = + ∞. x→ 0 x>0 x→ 0 x 0, – 1 sin(x) 1 x + sin(x) 1 sin(x) 1 1 1 donc – et 1 – 1+ x x x x x x h(x) f(x) g(x). d) I = ]0,999 99 ; 1,000 01[. 1 • Pour que g(x) ∈ I, il suffit que – 0,000 01 < – < 0,000 01. x 1 < 0,000 01 soit x > 10 000. Or x > 0, il suffit donc que – x 1 • Pour que h(x) ∈ I, il

nombres complexes Page 2 Notation Soit , on note par le nombre complexe cos Un peu de trigo.. On considère un repere orthonormé R(o , i , j) et le cercle trignonometrique: On pose : Cos Sin Tan ○ Fonction sinus. Definie sur R, peridiodique de periode 2π, sin(-x)=-sinx (-> Impaire) Sin(2π-x)= sin x, sin (π +x)=-sin x Les nombres complexes Page 3 ○ Fonction cosinus Definie sur R, cos (x+2π)=cos x , cos (-x) =cos x (->paire) cos(π-x) = -cos x Propriétés : Fonction tangeante : Definie lorsque x

− que la mesure (en radians) de l’angle orienté (OI, OM ) soit égale à x, on note OH la projection orthogonale de M sur (OI) et OK la projection orthogonale de M sur (OJ). Par définition, on pose sin x = OK et cos x = OM . sin est définie sur R et 2π périodique. cos est définie sur R et 2π ￿ périodique. ￿ sin x tan x = cos x Dtan = R \ π + kπ; k ∈ Z 2 1.1. GÉNÉRALITÉS Exemples 1.1.8. Fonctions hyperboliques R → R La fonction sh : est appelée sinus hyperbolique. x −x x ￿→ e −e 2 R → R La fonction

complexe on z = (a; b) peut être écrit sous la forme : z = (a; b) = (a; 0) + (b; 0) (0; 1) = a + ib appelée forme algébrique de z: Forme trigonométrique d’ p un nombre complexe. Soit z = (a; b). Alors, en posant a = r cos et b = r sin , où r = a2 + b2 , on aura z = r (cos + i sin ) Analyse 13 appelée forme trigonométrique de z. Le nombre r = jzj est appelé module de z et = arg z est appelé argument de z. b b ; ], d’ arg z = arctg + k , où pour k = 0, où On a tg = , pour 2] a a z appartient au

aussi. 1.7. Changement de variables en coordonnées polaires x = ρ cos θ y = ρ sin θ Théorème : On pose ( x,y) ∈ D ⇔ (ρ,θ ) ∈ ∆, et f ( x,y) = f (ρ cos θ,ρ sin θ ) = g(ρ,θ ) D f ( x,y) dx dy = ∆ g(ρ,θ )ρ dρ dθ = ∆ f (ρ cos θ,ρ sin θ ) ρ dρ dθ La figure 3, page ci-contre, explicite les coordonnées polaires. ∂x ∂x cos θ −ρ sin θ D ( x,y) ∂ρ ∂θ Démonstration : En effet = ∂y ∂y = D (ρ,θ ) sin θ ρ cos θ ∂ρ ∂θ        Cours de Spé T.S.I. =ρ 0 x y x2 + y2 0

ou inversement. z ➥ Exercices 2.10, 2.13, 2.16. Essayer de faire intervenir les nombres complexes, en utilisant la formule : ∀ x ∈ R, cos x + i sin x = ei x . Pour résoudre une question portant sur des cosinus et des sinus Pour transformer 1 + ei θ ou 1 − ei θ , (θ ∈ R), mettre e 2 en facteur : θ iθ 1 + ei θ = 2e 2 cos , 2 θ iθ 1 − ei θ = −2i e 2 sin . 2 iθ ➥ Exercice 2.15. Pour déterminer l'image dans C, par une application f, d'une partie P de C Essayer, si possible, en notant Z = f (z)

point du plan complexe correspondant au nombre complexe z = x + iy, nous voyons y P (x; y) que x = r cos ; où r = y = r sin ; r p x2 + y 2 = jx + iyj est le module ou la valeur absolue de z = x + iy, et est appelé l’amplitude ou l’argument de z = x + iy, noté arg z, est l’angle que fait ! le vecteur OP avec le demi-axe positif Ox. O On en tire z = x + iy = r (cos + i sin ) ; 4 x 0.3. Forme polaire des nombres complexes qui est appelée la forme polaire ou forme trigonométrique du nombre

suivants : b) f : x → ln(x 2 ) − ln x a) A = e ln 2 + e ln 3 b) B = e 4 × e −3 × e c) C = e − ln 3 + e ln 5 − e ln 7 a) f : x → (ln x )2 − ln x 1 , e Exercice n˚ Simplifier les expressions suivantes : 3 b) x → cos(2x ) cos x c) x → sin √ x d) x → sin x √ e) x → sin( x) 1+x f) x → ln 1−x g) x → ln(ln x ) i) x → e x 1 h) x → (−5x 2 + 3x + 1)e −x Exercice n˚ Dériver les fonctions suivantes : 6 b) x → (2x 2 + 3)2 (4x − 9) d) x → (3x + 1)7 (1 − 2x )3 e) x → (x 2 + x − 5)8 Exercice n˚ Dériver les

detuve junto a él sin identificarme. - Te has quedado sin gasolina?- pregunté. - Si- respondio -sube. Mi padre subio a lo moto sin haberme reconocido. Hacia cinco anos que no nos veiamos, ni nos hablamos. La ultima vez que nos habiamos dado un abrazo fue en el entierro de mi madre. Después, sin que hubiera sucedido nada entre nosotros, habiamos ido espaciando las llamadas telefonicas hasta que se corto la comunication. Noté como agachaba la cabeza para protegerse del aire. Sin duda, reparo en

et commentaire 1°) Module et argument de z On peut écrire −i i 1 1 i z= i(1-cosα-isinα) c’ aussi z = ie 2 (e 2 − e 2 ) . est 2 2 ϕ ϕ ϕ Vérifier alors que z = sin e 2 . Discuter suivant les valeurs de ϕ, le signe de sin Et vérifier : * si ϕ=0 alors z=0. * si ϕ∈ ]0,π[ alors z = sin ,   2 2   ϕ ϕ * si ϕ∈ ]-π,0[ alors z = − sin , + π    2 2  ϕ ϕ ϕ 2 i ϕ ϕ . 2 2°) module et argument de (z-i) ϕ ϕ ϕ ϕ Vérifier de la même manière que 1°) que: z − i =cos ei( 2 − π) = [cos