Sîn

[r, θ] o` r est la distance OM et θ est une mesure de l’angle (i, OM ). En a e u consid´rant le vecteur ur = cos(θ) i + sin(θ) j, on a alors (cf. Fig. 2) : e −→ − OM = r ur . Par l’identification entre nombres complexes et points du plan complexe, on en d´duit que tout nombre complexe e non nul z peut s’´crire sous forme trigonom´trique : e e z = r (cos(θ) + i sin(θ)) avec r > 0 et θ ∈ R (3) • Le r´el θ dans (3) est un argument de z. On note arg(z) un argument de z : il est toujours

On pose u0 = a et v0 = b puis, pour n entier naturel donné, √ n un+1 = un +v et vn+1 = un+1 vn . Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes et que leur limite commune 2 est égale à b sin(arccos( ba )) arccos( ab ) . Correction [005225] 1 Exercice 7 ** Limite quand n tend vers +∞ de 1. sin n n , n 2. 1 + 1n , 3. 4. n! nn , E ((n+ 21 )2 ) E ((n− 12 )2 )) , √ n 2 n , √ √ 6. n + 1 − n, 5. 7. ∑nk=1 k2 , n3 2k 8. ∏nk=1 2k/2 . Correction [005226] Exercice 8 ** √ √ Etudier la suite

d’angle ϕ, dans le plan rapport´ ` un ea rep`re orthonorm´ d’origine 0, est une ape e plication Rϕ de R2 dans R2 qui fait correspondre au point M(x, y) le point N(t, z) dont les coordonn´es sont donn´es par les e e formules  t = x cos ϕ − y sin ϕ z = x sin ϕ + y cos ϕ. x y 0 • t M x 4 Si A ⊂ E, l’ image directe de A par f est f (A) = { f (x)/x ∈ A } ⊂ F. 4 Si B ⊂ F , l’ image r´ciproque de B par f est e f −1 (B) = { x ∈ E/ f (x) ∈ B } ⊂ E. 4 On appelle restriction de f ` A ⊂ E

1 − x + 1 dx   = [x − ln( x + 1)] = 1 − ln( 2 ) m 0 0 x  1 g03  2 2 Enseignement spécifique ● Chapitre 7 ● Intégration et primitives EXERCICES Application (page 200) 13 a) F( x ) = x − cos( x ) − 1. b) F( x ) = x − sin( 2 x ) + 1 − π. 2 b) F( x ) = x + e − x − 3 − e − 2 . Donc F( x ) = ln( x ) − x + 1 F est dérivable sur I comme différence de fonctions dérivables sur I. 1 ∀x ∈ I , F'( x ) = ln( x ) + x × − 1 = ln( x ) = f ( x ) . x F est dérivable sur I comme

rad / 400gr α rad = (л / 200).α gr Conversion du degrés-grades (gons) : α° = (180°/ л) x α rad = 0,9 x α gr α gr = (200 / л) x α rad = (α° / 0,9) = des grades en degrés α rad = (л / 180).α° = (л /200) x α gr = radians degrès grades Sin 1’’ ≈ valeur de 1’’ en rad ≈ 0,0000015708 rad = 1,5708.10-6 rad ≈ 1/636620 rad α rad = α ’’.sin1’’ ≈ α ’’x 1,5708.10-6 ≈ (α’’/636620) α ’’ ≈ (α rad/sin1’’) ≈ (α rad/1,5708.10-6 ) ≈ α rad x 636620 rad Correspondance entre différentes unités de mesure

n'est pas continue sur IR. T = 1 donc ω = 2π = 2π. T 1 1 1 a0 = ⌠ t.dt = ⌡0 1 2 Deux intégrations par parties donnent: b-)  an = 2⌠0 t.cos(2πnt).dt = 0  1⌡  2⌠ 1 1  bn = 1⌡0 t.sin(2πnt).dt = – nπ  1 d'où S(f )(x) = c-) 1 1 – ∑  × sin(2nπx) .   2 n ≥ 1 nπ  Z. La fonction F est C1 par morceaux sur IR, discontinue aux points d'abscisses n∈Z Le théorème de Dirichlet permet donc d'affirmer que la série de Fourier de F converge sur IR vers la fonction réglée de F. 1 Donc: si x∉Z

plaisent; je prends la poêle, jette l'huile, allume le feu, pommes de terre froide bien dorés en premier ... El hombre. En el texto “Vaya Pareja”, el hombre es muy bueno. Sin embargo, no lo es por una cualidad particular sino porque no tiene ciertos defectos. En efecto, no “pega a su mujer” (este parece normal para nosotros, sin embargo, muestra que él es buen educado y que no es un hombre colérico). Además, no es un bruto, no se pelea todo el tiempo y “no mata los gatos callejeros”. Pero hay que

2) La somme cos(-x)+sin(-x)+cos(x+π)+sin(π+x) est égale à 3) L’équation cos x = sin x a les mêmes solutions que l’équation 4) L’équation sin x = admet 5) A, B sont deux points distincts du plan, on note I le milieu de [ AB+. L’ensemble des points du plan tels que MI=AB/2 Réponse A Réponse B Réponse C Cos( )= -a Cos( )= a Sin 0 2 cos x Sin( + x)=sin(x) Deux solutions dans IR Est un cercle Sin(x - )=sin(x) Une solution dans [ ; 2π + Est le milieu de [AB] )= a -2 sin x Cos(x)=cos ( + x

direction “v0 +v1 ” e (c’est-`-dire dans la direction oblique) mais est dans une superpoa sition quantique de ces deux polarisations. θ θ – Soit |ψ = cos 2 |v0 + eiφ sin 2 |v1 2 θ (norm´, ψ|ψ = cos 2 e + |eiφ |2 sin θ 2 2 = 1). Alors – P (0) = | v0 |ψ |2 = cos θ 2 2 θ 2 – P (1) = | v1 |ψ |2 = |eiφ sin |2 = sin θ 2 2 2. Changeons l’orientation du polariseur et tournons-le de π . 4 π 4 La nouvelle base est |v0 et |v1 , d´termin´e par une rotation d’angle e e :

pendant tout le déplacement donc W(R )= 0 Et W (P ) = m.g. (ZB – ZA) avec sin α = ( ZA – ZB ) / AB alors ( ZB – ZA ) = -AB sinα Donc : ½.m.VA² – ½.m.VB² = - m.g.AB.sinα avec VB = V0 et VA =V1 et AB =d1 il vient : ½.m.V1² – ½.m.V0² = - m.g.d1.sinα on isole d1 et on simplifie par m : d1 = - (½.V1² – ½.V0² ) / (g.sinα ) application numérique: d1 = - (1/2. 1,5² – 1/2.3,0²) / (9,8.sin 25) d1 = 0,81 m = 81 cm 2. Si elle s'arrête V2 = 0 on reprend la relation précédente