Sîn

noté ρ. C’est un nombre positif. Définition 5 (Forme trigonométrique) Soit z un nombre complexe non nul. On a donc : z = |z| Ou encore : z = |z| (cos θ + i sin θ) θ est un argument du nombre complexe z. Un argument du nombre complexe z est noté arg z. Un argument d’un nombre complexe z est défini à 2kπ près (k ∈ Z). L’écriture z = |z| (cos θ + i sin θ) est la forme trigonométrique du nombre complexe z. Définition 6 (Interprétation géométrique) A chaque nombre complexe, on peut associer un point M du plan

limite en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur R par f ( x) = x + sin x On part de ∀x ∈ R ∀x ∈ R − 1 ≤ sin x ≤ 1 , soit encore en ajoutant x à chaque membre de l’inégalité x − 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1 • Etude en −∞ On utilise l’inégalité ∀x ∈ R x + sin x ≤ x + 1 et puisque lim ( x + 1) = −∞ x →−∞ d’après le théorème de comparaison lim ( x + sin x) = −∞ x →−∞ • Etude en +∞ On utilise l’inégalité ∀x ∈ R x − 1 ≤ x + sin x et puisque lim ( x + 1) = +∞ x →+∞ © Gérard Hirsch – Maths54 1 Limite

intervalle I. On appelle primitive de ƒ toute fonction F dérivable sur I telle que F' = ƒ sur I. Exemple : On considère la fonction ƒ définie sur ƒ sur . Solution : F(x) = x 3 − x 2 + sin x. En effet, F'(x) = 3 x 2 − 2x + cos x = ƒ(x). Remarquons que si l'on avait choisi pour F la fonction définie par F(x) = x 3 − x 2 + sin x + 24, nous aurions encore eu une candidate satisfaisante. Donc si une fonction ƒ admet une primitive, alors elle en admet une infinité. Remarque : la définition reste valable si

lim cos ; lim  ; lim x →+∞ x →3 x  3 x − 2  x →0 x² − 9 4 + sin x − 2 1 − tan( x ) ; lim π cos( 2 x ) x x→ 2 cos( x ) − 1 sin 3 x 1 − sin x + cos ² x ; lim ; lim . π π x → 0 1 − cos 3 x x → 4 sin ²( x ) − 3 x → sin x + cos ² x − 1 ; lim 4 3 2 EXERCICE N°2 On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) = Montrer que , pour tout x ≥ 2 , |f(x) − 3| ≤ 3 x + sin x . x−1 4 . En déduire la limite de f en + ∞ x−1 EXERCICE N°3

Exercice 6 : 1. Montrer que les intégrales impropres ∫ +∞ 1 sin t t dt et ∫ +∞ 1 cos t t dt sont convergentes. On souhaite prouver que la fonction sin t t n'est pas intégrable, c'est-à-dire que ∫ +∞ 1 ∣∣∣∣ sin tt ∣∣∣∣ dt diverge. 1Année universitaire 2021/2022 2. Méthode 1. Prouver que, pour tout t ∈ R, | sin t| ≥ 1− cos 2t 2 . En déduire le résultat. 3. Méthode 2. Prouver que, pour tout k ∈ N,∫ (k+1)π kπ | sin t| t dt ≥ 1 (k + 1)π ∫ π 0 | sin t|dt. Retrouver alors le résultat. Exercice 7 : Etudier les

l’énergie cinétique est convertie en énergie potentielle de pesanteur. L’autre partie est dissipée par les frottements. 2- Rappel vu en cours: cos ( 𝝅 𝟐 + α) = - sin α WAC(𝑃 )⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = P x AC x cos (�⃗� , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗) = P x AC x cos ( 𝝅 𝟐 + α) = - m x g x AC x sin α WAC(𝑓 )⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = f x AC x cos 180 = - f x AB = 𝑊𝐴𝐶(𝑃 )⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 5 = - 𝑚 𝑥 𝑔 𝑥 𝐴𝐶

utilisant les définitions des lignes trigonoméOA puis en passant aux coordonnées, triques, sini1 = AI sini1 x0 = . v v a2 + x 2 (d - x 0) sini2 De même, on obtient, = . w w (d - x)2 + b2 Les deux quantités sont égales d’après A.4. sin i1 sin i2 b. L’égalité de a. devient = . Êcˆ Ê c ˆ ÁË ˜¯ ÁË ˜¯ n2 n1 En simplifiant par c, on obtient bien la loi de Descartes. 1 (2) 2 6 , f (x) = 3 et f (3) (x) = - 4 . x2 x x 2. a. a1 = - 1, a2 = 2, a3 = - 6 et a4 = 24. 91 1. f (1)

varios años pasados en viajes por el extranjero, me embarqué en el año 18...en el puerto de Batavia, capital de la rica y populosa isla de Java, para hacer un crucero al archipiélago de las islas de la Sonda. Me hice a la mar en calidad de pasajero, sin otro motivo que una especie de inquietud nerviosa que me hostigaba como si fuera un demonio. Nuestro excelente navío, de unas cuatrocientas toneladas, tenía remaches de cobre y había sido construido en Bombay con teca de Malabar. Llevaba una carga

Université Cadi-Ayyad Faculté des Sciences Semlalia Département des Mathématiques S2-2010-2011 Filière SMPC Module Analyse II Contrôle n◦2 Durée 1H 30 Exercice 1 : ( 5 points) On considère l'équation diérentielle : y” + 2y + 2y = ex sin(x) (E) 1) 2) Donner la solution de l'équation diérentielle sans second membre associée à l'équation (E). Trouver la solution générale de l'équation diérentielle (E). Soit f la fonction dénie par : f (x, y) = xy x4 + y 4 Exercice 2 : ( 5 points)

Le discriminant est négatif, l’équation a deux 2 3 + 2i solutions complexes conjuguées : = 3 + i et 3 + i. Réponse c. 2 2. On a |zA |2 = 3 − i = 3 + 1 = 4 = 22 ⇒ |zA | = 2. 1 3 −i = 2 2 2 2 On a donc zA = 2 Réponse d. −1 3 +i = 2 cos −π + i sin −π . 6 6 2 2 3. z − 3 − i = z − 3 + i ⇐⇒ z − 3 + i = z − 3 − i ⇐⇒ |z − zB | = |z − zA | ⇐⇒ BM = AM. Les points de l’ensemble sont donc équidistants de A et de B. L’ensemble est donc la médiatrice de [AB], mais comme A et B sont symétriques autour