Sîn

de module 1 et il existe un réel θ tel que = cos(θ) + i sin(θ). θ est un argument de z. |z| |z| √ √ 3 1 5π 5π 5π + i sin = + i = arg cos (2π). Exemple. arg(− 3 + i) = arg − 2 2 6 6 6 iθ La notation e Le calcul (cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ ′ ) + i sin(θ ′ )) = . . . = cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′ ) invite à poser pour tout réel θ, eiθ = cos(θ) + i sin(θ). Formulaire. Pour tous réels θ et θ ′ , • |eiθ | = 1. • Re(eiθ ) = cos(θ), Im(eiθ ) = sin(θ). ′ ′ • eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) . 1 • iθ = e−iθ = eiθ . e

4) un = ( −3) 9) un = − n 5) un = n 2 + n + 1 1 7) un = 2 n − n 2+ n u0 = 1 10)  un +1 = un + n − 3, n ∈ ℕ n 2n 1 n Exercice n°10. Démontrez que les suites suivantes sont périodiques, en déterminant une période : 2nπ 1) un = sin 3 Exercice n°11. v0 = 1  2)  3 2 5 vn +1 = − 2 vn + 2 vn + 1  1 2 2 22 22 23 23 ; ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ... 3 3 3 3 3 3 3 Soit ( un )n∈ℕ la suite définie par la liste de ses termes : Démontrez que ( un ) est constituée de deux suites extraites

pour tout entier naturel n et pour tout réel t : sin ((n+1)t) = sin(t) . Pn(cos(t)). (on pourra développer (cos (t) + i sin (t))n+1 et étudier la partie imaginaire.) 1. b. En déduire que, pour tout entier naturel n , le polynôme Pn , vérifie la relation : n(n+2)Pn – 3 X Pn’ –(X2 – 1) Pn’’ = 0 (On pourra dériver 2 fois la relation de la question 3.a) 2. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout réel t : sin((n+2)t) + sin(nt) = 2 cos(t) sin((n+1)t) b. En déduire que , pour tout entier naturel

������������2 cos (������������ ) , ������������1 sin (������������) + 2 ������������2 sin (������������ ) � Yf = -Yd = F � A l’aide de Mathématica, on en déduit : �������������12 + 4 ������������22 −4 ������������1 cos (∝)− 2 ������������2 cos (������������ ) Zf = -Zd = F � �������������1²+ 4 ������������2² −4 ������������1 ������������2 cos (������������ + ������������) ������������1 sin (������������) + 2 ������������2 sin (������������ ) ������������1 ������������2 cos

3 6. b. Vrai, mais aussi sur 61 ; + 3 6. c. Si elle admet 0 qu’elle atteint en − 1 et 1. 126. 1. Il y a juste à préciser qu’elles passent toutes par (0 ; 0) et sinon par le point d’abscisse – b . a 2. La seconde abscisse cherchée est : v 0 sin 2i . g L’application numérique donne : 2m12. ) ( ) TP Info (p. 46-47) 1. Positions relatives de deux courbes x 2 = mx – (m – 1)(=) x 2 – mx + m – 1 = 0 dont le discriminant est T m = m 2 – 4 (m – 1) soit T m = m 2 – 4m + 4 = (m

f en +∞ . . Exercice n°12. On considère la fonction numérique f définie par f ( x ) = 2 x − sin x 1) Montrer que pour tout x réel 2 x − 1 ≤ f ( x) ≤ 2 x + 1 2) En déduire les limites de f lorsque x tend vers + ∞ et lorsque x tend vers − ∞ Exercice n°13. Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en + ∞ et en − ∞ de chacune des fonctions f suivantes (si 1 + cos x x sin x ; 2) f ( x) = 2 elles existent): 1) f ( x) = x +1 x Exercice n°14. 1 + x² x On veut

B0 r r r sin α x − y. cos α 0 ∧ y = x. cos α − z. sin α cos α B z B y. sin α 0 0 Soit : (− y. cos α )² + (x. cos α − z. sin α )² + (y. sin α )² ≤ R e ² (x. cos α − z. sin α )² + y ² ≤ R e ² Équation 1 4/17 Mines-Ponts MP 2006 (corrigé) 2.b : Le point S appartient à l’un des demis-cylindres du faisceau de réception d’axe r (F0 , r ) ( r unitaire) si r ∧ F0 S ≤ R r r r Soit B0 x − sin α − y. cos α 0 ∧ y = x. cos α + z. sin α cos α B z B − y. sin α 0 0 Soit : (− y

rayon r´ fract´ est dans le plan d’incidence. e e 2. Pour deux milieux donn´ s et une lumi` re de longueur d’onde donn´ e λ , il existe un e e e rapport constant entre le sinus de l’angle d’incidence i1 et le sinus de l’angle de r´ fraction i2 e sin i1 n´λ µ sin i2 o` n est une constante d´ pendant de λ , on l’appelle l’indice de r´ fraction du milieu u e e 2 par rapport au milieu 1. ` Exemple : L’indice de r´ fraction de l’eau par rapport a l’air est pour la lumi` re verte e e d’environ 4 3. ` ` Remarque

forme du type y = 2t2 + 1 it aussi z = e , t ∈ [0, 2π]. Il faut dans ce cas comprendre que x et y désignent des fonctions de D dans R ou que z désigne une fonction de D dans C. Nous connaissons déjà des exemples de paramétrisations : ⋄ t → (cos(t), sin(t)), t ∈ [0, 2π[ (paramétrisation du cercle trigonométrique). ⋄ t→( 2t 1 − t2 , ), t ∈ R (paramétrisation rationnelle du cercle trigonométrique privé du point (−1, 0)). 1 + t2 1 + t2 ⋄ De manière générale, si f est une fonction d’un domaine D de

PHYSIQUE 2 : MÉCANIQUE PHYSIQUE 2 : MÉCANIQUE PHYSIQUE 2 : MÉCANIQUE A. Introduction et rappel des lois physiques à étudier 1) But du TP : L’objectif de ce TP est de trouver expérimentalement la condition d’équilibre et vérifier la relation qui lie la masse du charriot, la masse suspendue au fil m et l’angle d’inclinaison α. 2) Mesures théoriques : Dans ce TP nous allons étudier le bilan des forces mises en jeu lors de l’équilibre d’un