I) De quoi s'agit-il ? Nombres complexes Ensemble de points II) Indication et commentaire 1°) Module et argument de z On peut écrire
−i i 1 1 i z= i(1-cosα-isinα) c’ aussi z = ie 2 (e 2 − e 2 ) . est 2 2 ϕ ϕ ϕ

Vérifier alors que z = sin e 2 . Discuter suivant les valeurs de ϕ, le signe de sin Et vérifier : * si ϕ=0 alors z=0. * si ϕ∈ ]0,π[ alors z = sin ,   2 2   ϕ ϕ * si ϕ∈ ]-π,0[ alors z = − sin , + π    2 2  ϕ ϕ

ϕ 2

i

ϕ

ϕ . 2

2°) module et argument de (z-i)

ϕ ϕ ϕ ϕ Vérifier de la même manière que 1°) que: z − i =cos ei( 2 − π) = [cos , − Π ] 2 2 2 2 2 ϕ > 0 pour tout ϕ ∈ ]0,π[) 2 z ϕ ϕ π que: = i tg = [tg , ] z− i 2 2 2

(on a : cos Vérifier

car tg

3°)* L'ensemble de points M lorsque ϕ décrit ]0,π[. Soit •={M(z) lorsque ϕ ∈ ]0,π[}. Vérifier que M(z)∈ • ⇔
1  x = 2 sin ϕ   y = − 1 (1 + cos ϕ)  2 

ϕ > 0 ; pour tout ϕ ∈ ]0,π[. 2

avec ϕ ∈ ] , π[ 0
1 ) et 2

En déduire que : x 2 + ( y + ) 2 = et par suite M appartient au cercle ( C) de centre I(0,

1 2

1 4

1 de rayon ( ) 2 Utiliser que: 0 < sin ϕ ≤1 et − 1 < cos ϕ < 1 pour déduire que le point M décrit le demi-cercle de ( C) privé des points O(0,0) et A(0,-1). (Voir figure).

Vérifier que • :

1 2 1  2 x + ( y + 2 ) = 4   0 < x ≤ 1  2 

* L'ensemble de points N
x = 0 Vérifier que les coordonnées ( x , y ) de N dans vérifient :   ϕ y = tg 2  x = 0 En déduire que N décrit la demi-droite définie par:   y ∈ IR * + 

avec ϕ ∈ ]0,π[.