EC1

Devoir Maison

N°2 pour le 13 octobre 2011

Exercice Pour tout entier naturel n, on définit le polynôme Pn par : Pn = ou si on note [n/2] la partie entière de n/2 :
[n / 2]

n +1  2 k n−2k (−1) k   2k + 1(1 − X ) X  0≤ 2 k ≤ n  

∑

Pn = 1. Vérifier que P0 = 1 ; P1 = 2X ; P2 = 4 X2 – 1 2. Montrer que ∀ n ∈ N, Pn (-X) = (-1)n Pn(X) .

∑ (−1) k =0

k

n +1  2 k n −2k   2k + 1(1 − X ) X   

et calculer P3.

3. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout réel t : sin ((n+1)t) = sin(t) . Pn(cos(t)). (on pourra développer (cos (t) + i sin (t))n+1 et étudier la partie imaginaire.) 1. b. En déduire que, pour tout entier naturel n , le polynôme Pn , vérifie la relation : n(n+2)Pn – 3 X Pn’ –(X2 – 1) Pn’’ = 0 (On pourra dériver 2 fois la relation de la question 3.a) 2. a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout réel t : sin((n+2)t) + sin(nt) = 2 cos(t) sin((n+1)t) b. En déduire que , pour tout entier naturel n non nul, on a : Pn+1 – 2 X Pn + Pn -1 = 0 c. Montrer, en utilisant la relation précédente, que Pn , est un polynôme de degré n et déterminer le coefficient dominant an de Pn , c'est-à-dire le coefficient de Xn dans Pn.

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