Sîn

l’exercice e suivant. Exercice : Justifier qu’il existe un polynˆme tel que pour tout θ r´el, on ait Pn (sin θ) = sin(nθ). o e Montrer que ce polynˆme est unique. o 13 Solution : L’existence r´sulte de la formule de De Moivre et de sin 2 (θ) = 1 − cos 2 (θ) ; e ceci sera expliqu´ plus en d´tail dans la partie sur la trigonom´trie. Montrons l’unicit´. Si e e e e Pn (sin θ) = sin(nθ) = Qn (sin θ) pour tout θ, Pn et Qn co¨ ıncident sur l’intervalle [−1, 1], donc Pn = Qn . Montrer qu’un polynˆme

trigonométrique d'un nombre complexe non nul Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme : z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR+ C'est la forme trigonométrique de z. r est le module de z, r = |z| θ est un argument de z. sin θ θ O cos θ 1 * M r = |z| Si z = r(cos θ + i sin θ) alors  • z = r(cos(-θ) + i sin(-θ)) et • - z = r(cos(θ + π) + i sin(θ + π)) http://xmaths.free.fr/ TS - Fiche de cours : Nombres complexes 2/4 Arguments d'un nombre complexe L'argument

d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés. 1. Résoudre, sur ] − ; ], l’équation : cos x = 0. En déduire toutes les solutions, sur R, de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : tan x = sin x cos x pour x 2 D où D = R \  2 +k, k 2 Z  On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; #ı ; #| ). a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer que la fonction tangente est -périodique. c. Expliquer pourquoi

capacidad del hombre para vivir sin contactos con el mundo exterior. « para observar la resistencia del ser humano a la soledad » (1,2) Aceptó vivir en la oscuridad, frío, humedad : « una cueva a 250 metros de profundidad » (13) condiciones de vida precarias : « la tienda de campaña » (8) situación extrema de soledad y aislamiento sin más compañía que la de los murciélagos. A pesar de que este conejillo de Indias fuera un espeleólogo acostumbrado a la oscuridad, sin predisposición a la claustrofobia

plus l’angle de réfraction est grand. Tableau de résultat : # Sin i Sin r Sin i  sin r 1 0,3420 15= 0,2588 0,7567 2 0,500 21= 0,3837 0,7167 3 0,7071 30= 0,5 0,7071 4 0,7660 35= 0,5738 0,7488 5 0,8660 37= 0,6018 0,6949 6 impossible impossible impossible Calcul : Sinus des angles de la situation A : Sin 20 : 0,3420 Sin 30 : 0,500 Sin 45 : 0,7071 Sin 50 : 0,7660 Sin 60 : 0,8660 Sin 75 : erreur Sinus incident / Sinus réfracté : = = =

géométrique d'un nombre complexe Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, au nombre complexe z = a + bi , Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme : on peut associer le point M(a ; b) ou le vecteur V (a ; b). z = r(cos θ + i sin θ) , avec θ ∈ IR et r ∈ IR+ z = a + bi est l'affixe de M et de V . → M(a ; b) est l'image ponctuelle, v (a ; b) est l'image vectorielle de z = a + bi. C'est la forme trigonométrique de z. r est le module de z, r = |z| θ est un argument de z. →

وزن اﻟﺠﺴﻢ 1‪ ، P‬ﺕﺄﺙﻴﺮ اﻟﺴﻄﺢ ‪ ، R‬ﺕﺄﺙﻴﺮ اﻟﺨﻴﻂ ) ‪. T ( f‬‬ ‫‪r r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫• ﺕﻄﺒﻴﻖ ع . أ . د : ‪ ∑ FAPP = m1 .a‬و ﻣﻨﻪ : ‪. P1 + R + T = m1 .a‬‬ ‫‪r‬‬ ‫• إﺳﻘﺎط ع . أ . د ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر ) ‪ (O; i‬ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ : ‪m1 .g. sin α − T = m1 .a‬‬ ‫)1(‬ ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ : ‪T = m1 .g. sin α − m1 .a‬‬ ‫‪www.madariss.fr‬‬ ‫اﻟﺪراﺳﺔ اﻟﺘﺤﺮﻳﻜﻴﺔ ﻟﻠﺒﻜﺮة :‬ ‫• اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻤﺪروﺳﺔ : اﻟﺒﻜﺮة‬ ‫• اﻟﻤﻌﻠﻢ : ﻣﺮﺕﺒﻂ ﺑﺎﻷرض و ﻳﻌﺘﺒﺮ ﻏﺎﻟﻴﻠﻴﺎ‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫• ﺝﺮد اﻟﻘﻮى : وزن اﻟﺒﻜﺮة ′ ‪ ، P‬ﺕﺄﺙﻴﺮ ﻣﺤﻮر اﻟﺪوران ′ ‪ ، R‬ﺕﺄﺙﻴﺮ

-6- ⇒  t3 est une primitive de t 2  3  Exercices 1.9 1. Si k ≠ 0 , alors − cos kx est une primitive de sin kx . k PREUVE d  cos kx  1 d ( cos kx ) = − 1 ( − sin kx ) d ( kx ) = 1 ( sin kx ) ( k ) = sin kx − =− dx  k  k dx k dx k 2. Si k ≠ 0 , alors sin kx est une primitive de cos kx . k PREUVE d  sin kx  1 d ( sin kx ) = 1 ( cos kx ) d ( kx ) = 1 ( cos kx ) ( k ) = cos kx  = dx  k  k dx k dx k 3. Si k ≠ 0 , alors tgkt

plan P la conique G. Q4) Donner l’excenticité ainsi que les coordonnées du ou des foyer(s) dans le repère R de la conique G. Q5) Pour tout θ ∈ R, on définit la droite (Dθ ) ayant pour système d’équations cartésiennes :  x − z cos(θ) = 2 sin(θ) (Dθ ) :  y − z sin(θ) = − 2 cos(θ) Pour tout θ ∈ R, déterminer un point et un vecteur directeur de la droite (Dθ ). On choisira un vecteur directeur dont la troisième coordonnée est égale à 1. Q6) Soit θ et m deux réels quelconques. Prouver que la droite (Dθ

hay en París .testigos de la mayor parte de los hechos que aquí recojo, y que podrían confirmarlos, si mi testimonio no bastara. Por una circunstancia particular sólo yo podía escribirlos, porque sólo yo fui el confidente de los últimos detalles, sin los cuales hubiera sido imposible hacer un relato interesante y completo. Pues bien, veamos cómo llegaron a mi conocimiento esos detalles. El 12 de marzo de 1847 leí la calle Lafitte un gran cartel amarillo en que se anunciaba la subas de unos muebles