Forme trigonométrique des nombres complexes
Argument d’un nombre complexe non nul
→
→
• Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O, − u,− v ). z est un complexe non nul d’image ponctuelle notée M.
M(z)
On appelle argument de z toute mesure en radian de l’angle
−−→
→ orienté − u , OM .
−−→
→
→
− u , OM (2π). arg(z) arg(z) = − v • Si θ0 est un argument de z, l’ensemble des arguments de z est
→
O − u l’ensemble des réels de la forme θ0 + 2kπ, k ∈ Z. z Détermination d’un argument. Si z est un complexe non nul, un argument de z est également un argument de . Le
|z|
z z nombre complexe est de module 1 et il existe un réel θ tel que
= cos(θ) + i sin(θ). θ est un argument de z.
|z|
|z|
√
√
3 1
5π
5π
5π
+ i sin
=
+ i = arg cos
(2π).
Exemple. arg(− 3 + i) = arg −
2
2
6
6
6
iθ

La notation e

Le calcul (cos(θ) + i sin(θ))(cos(θ ′ ) + i sin(θ ′ )) = . . . = cos(θ + θ ′ ) + i sin(θ + θ ′ ) invite à poser pour tout réel θ, eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Formulaire.
Pour tous réels θ et θ ′ ,
• |eiθ | = 1.
• Re(eiθ ) = cos(θ), Im(eiθ ) = sin(θ).
′
′
• eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) .
1
• iθ = e−iθ = eiθ . e eiθ
′
• iθ ′ = ei(θ−θ ) . e n
• Pour tout entier relatif n, eiθ = einθ .

Pour tous nombres complexes non nuls z et z ′ ,
• arg(zz ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ) (2π).
1
• arg
= arg(z) = −arg(z) (2π). z z
• arg ′ = arg(z) − arg(z ′ ) (2π). z • Pour tout entier relatif n, arg(zn ) = n.arg(z) (2π).

Forme trigonométrique (ou forme exponentielle) des nombres complexes
Tout nombre complexe non nul z s’écrit sous la forme z = reiθ où r est un réel strictement positif et θ est un réel.
Cette écriture est unique en ce sens que :
Pour tous réels strictement positifs r et r ′ et tous réels θ et θ ′ ,
′
′ reiθ = r ′ eiθ ⇔ r = r ′ et eiθ = eiθ .
Si z est un complexe non nul, l’écriture z = reiθ s’appelle la forme trigonométrique (ou la forme exponentielle) de z.
Forme trigonométrique d’un complexe non nul z : z = reiθ où r est le module de z et θ est un argument de z.
Le réel θ lui n’est pas unique