Sîn

esentation du probl` eme Nous nous int´eressons `a la r´esolution des ´equations de la forme y + a(x)y = b(x). Dans cette ´equation, a et b sont des fonctions de x, d´efinies et continues sur un intervalle ouvert I de R. Par exemple y + y sin x = 2 sin x sur R. On cherche une fonction y de x, d´efinie et continˆ ument d´erivable sur I, qui v´erifie l’´egalit´e ci-dessus (o` u y est bien sˆ ur la d´eriv´ee de y). C’est une ´equation diff´erentielle (c’est `a dire une ´equation faisant intervenir

montrer à l’aide d’un changement d’indices que ln(sin k=n+1 kπ )= 2n n−1 ln(sin k=1 kπ ). 2n Solution. Soit n ≥ 2. Pour k ∈ {n + 1, ..., 2n − 1}, posons k ′ = 2n − k ou encore k = 2n − k ′ . Quand k décrit {n + 1, ..., 2n − 1}, k ′ varie de 2n − (2n − 1) = 1 à 2n − (n + 1) = n − 1 et donc, 2n ln(sin k=n+1 1.5 kπ )= 2n n−1 ln(sin k ′ =1 (2n − k ′ )π )= 2n n−1 ln(sin(π − k ′ =1 k ′π )) = 2n n−1 ln(sin( k ′ =1 k ′π )) = 2n n−1 ln(sin( k=1 kπ )). 2n Sommes télescopiques Soit (un )n∈N

une calculatrice graphique. e 1. f1 : x → x sin(x). Aide : Montrer que −x ≤ f1 (x) ≤ x ; pour quelles valeurs de x a-t-on f1 (x) = x ? f1 (x) = −x ? f1 (x) = 0 ? Placer ces points, puis compl´ter e rapidement le graphe. 2. f2 : x → x2 sin(x). Aide : suivre la mˆme d´marche. e e 3. f3 : x → sin(x) + x. 4. f4 : x → sin(x) + x2 . 5. f5 : x →| sin(x) |. 6. f6 : x → exp(sin(x)). 7. f7 : x →| sin(x) | +x. 8. (*) f8 : x → (sin(x))2 . 9. (*) f9 : x → exp(x sin(x)). 1 

r 1  ∂ U r * sphériques: grad U =   er +   eθ +   eϕ r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ  ∂r b. Divergence: r  ∂a   ∂ a   ∂ a  * cartésiennes: div a =  x  +  y  +  z   ∂x   ∂ y   ∂z  r 1  ∂ r ar 1  ∂ aθ   ∂ az  * cylindriques: div a =  +   +  r  ∂ r  r  ∂θ   ∂ z  r 1  ∂ r 2 ar  1  ∂ a θ sin θ  1  ∂ aϕ  * sphériques: div a =   + +      ∂ θ  r sin θ  ∂ ϕ  r 2  ∂ r  r sin θ  c. Rotationnel: → r  ∂a ∂ ay  r  ∂ ax ∂ az  r  ∂ ay ∂ ax  r

l'ensemble de définition de chacune des 24 fonctions trigonométriques. Bien que certaines fonctions puissent parfois être identifiées par plusieurs noms différents (ex : sh ou sinh pour le sinus hyperbolique, tg ou tan pour la tangente, arcsin ou sin-1 pour la fonction réciproque du sinus circulaire, etc.) nous adopterons ici les 24 noms explicites et non ambigüs indiqués dans les tableaux ci-dessous. 3 remarques sur les noms des fonctions :     - Le suffixe h désigne une fonction hyperbolique

1−x x2 x3 xn + + ··· + + xn (x) 2 3 n x2 x3 xn = x+ + + ··· + + xn (x) 2 3 n − ln(1 − x) = − ln 1 + x + 116 sin x x ´ ´ CHAPITRE 7. DEVELOPPEMENTS LIMITES • On a lim x→0 = 1 donc on obtient le d´veloppement limit´ ` l’ordre 1 e ea sin x = x + x (x) Par int´gration on obtient e − cos x = − cos 0 + donc cos x = 1 − En int´grant ` nouveau on obtient e a sin x = sin 0 + x − = x− • On a lim ex = 1 donc x→0 x2 + x2 (x) 2 x2 + x2 (x) 2 x3 + x3 (x) 3! x3 + x3 (x) 3! ex =

1] . 2 2 2. (1pt) ∀θ ∈ R, h (3θ) = = = = 3. Soit x0 ∈ R∗ . (a) (1pt)On a lim f (x) = α ∈ R ⇒ f (x) = αx + o (x) → 0 = f (0) . Donc f est continue en 0. x x→0 x→0 sin (3θ) = Im (exp (i3θ)) = Im (cos θ + i sin θ) 3 Im cos3 θ + i3 cos2 θ sin θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ = 3 1 − sin2 θ sin θ − sin3 θ 3 sin θ − 4 sin3 θ = 3h (θ) − 4h3 (θ) (b) (2pt) On a ∀n ∈ N, f x0 3n ∈ [−1, 1] or h realise une bijection bicontinue de − π , π sur J = [−1, 1] donc 2 2 π π x0 ∃

s’écrivent : x = X ⋅ cos (θ ) + Y ⋅ sin (θ ) y = − X ⋅ sin (θ ) + Y ⋅ cos (θ ) (4.20) 8 9782100585366-Livre.indb 8 28/03/13 14:42 4 • Principes de la méthode des éléments finis en statique 4.2 Résolution Y y x θ A X  Figure 4.4 – Changement de repères. À titre d’exemple, le changement de base d’un élément barre plan à deux nœuds revient à appliquer la relation (4.20) à ses deux nœuds i et j, soit : 0 0 ⎤ ⎧U i ⎫ ⎧ ui ⎫ ⎡ cos (θ ) sin (θ ) ⎥ ⎪ v ⎪ ⎢ − sin θ cos θ 0 0 ⎥ ⎪⎪ Vi ⎪⎪ ( ) ( )

sont : e       cos θ − sin θ 0 x =  sin θ  , y =  cos θ  et z = 0 0 1 0 1.2. Rotations 4 M y x y θ O z= z x F IG . 1.3 – Exemple de rotation plane si bien que la matrice de rotation de R vers R , not´ e R(z, θ), est : e   cos θ − sin θ 0 R(z, θ) =  sin θ cos θ 0 . 0 0 1 Les coordonn´ es du point M dans R sont : e √  3 m =  0 . 1 Dans R ses coordonn´ es sont : e   √  √  cos θ − sin θ 0 3 cos θ 3 √ m =  sin θ cos θ 0  0  =  3 sin θ  . 0 0 1 1 1 ´ Comme evoqu´

J= 1√ 0 1 − t2 dt. sin(x) dx. 1+cos2 (x) Pour la première on pose le changement de variable t = sin(x) donc dt = cos(x)dx. Donc I= π 2 cos2 (x)dx π 2 et puisque cos2 (x) = 0 1+cos(2x) , alors on a : 2 I= 0 π π 1 cos(2x) 1 1 π 2 2 ( + )dx = ([x]0 ) + [sin(2x)]0 = 2 2 2 4 4 8 CHAPITRE 1. INTÉGRALE SUR [A, B] Pour la deuxième intégrale on fait le changement de variable suivant : u = cos(x) ⇔ du = −sin(x)dx J= et donc on a :