Sîn

http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ ∆ Vecteurs unitaires : div 0 ; rot ; div 0 ; rot 0 8 Coordonnées sphériques Seule la formule du gradient est à connaître en coordonnées sphériques. grad div rot 1 sin 1 1 sin 1 1 sin ; rot sin 0 ; rot 1 1 sin sin 1 1 sin 1 sin 1 sin ∆ 1 sin et grad . Quelques résultats utiles : div 4/4 

v ) orthonormal direct r     Chaque couple (r ; )2 vérifiant   est un couple de coordonnées polaires de M (u ,  )    r  x 2  y 2  2  (r ; ) est un couple de coordonnées polaires de M si et seulement si  x y cos   et sin    r r  (r ; ) et (r’ ; ’) sont des coordonnées polaires du même point si et seulement si r = r’ et  = ’ [2]  L’origine du repère n’a pas de coordonnées polaires, on l’appelle pôle. z*, (Re(z), Im(z)) sont les coordonnées cartésiennes

TempsSéries de fourier • sin(t) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Temps • sin(t) -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 TempsSéries de fourier • sin(t), sin(3t)/3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Temps • sin(t) + sin(3t)/3 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 TempsSéries de fourier • sin(t), sin(3t)/3, sin(5t)/5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Temps • sin(t) + sin(3t)/3 + sin(5t)/5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 TempsSéries de fourier • sin(t), sin(3t)/3, sin(5t)/5, sin(7t)/7 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Temps • sin(t) + sin(3t)/3 + sin(5t)/5 + sin(7t)/7 -1.5 -1 -0

Descartes on peut écrire  les relations suivantes  : Pour le faisceau de couleur rouge : sin(i)= nrouge x sin(rrouge) Pour le faisceau de couleur bleue : sin(i) = n bleu x sin(rbleu) On sait que sin(i) est une constante car la lumière blanche incidente arrive suivant le même angle pour les deux lumières colorées. Sin(i)= nrouge x sin(rrouge) = nbleu x sin(rbleu)  Nrouge<nbleu donc sin(rrouge) doit être supérieur à sin(rbleu) pour vérifier l’égalité Donc rrouge>rbleu. Le faisceau de lumière bleue est donc

➤ On appelle argument de z tout nombre réel θ tel que θ = (− u , OM )[ 2π], ➤ On note θ = arg(z), ➤ θ vérifie :     cos θ    sin θ a √ , 2 a + b2 b √ . a2 + b2 = = Exemple 7 Calcul d’un argument de nombres complexes :  2 2   = √  cos θ = √ 2 2 2 2 2 + 2 ➔ z1 = 2 + 2i :  2 2   sin θ = √ = √ 2 2 22 + 22 √ ➔ z2 = 1 + i 3 :   cos θ       sin θ    = = 1 √ 2 12√+ 3 3 √ 2 12 + 3 √ 2 2 √ 2 = 2 = 1 = √ 4 2 = √ 4 1 2 √ 3 = 2 ⇒θ= π 4 ⇒ arg(2 + 2i) = π . 4 = ⇒θ= π 3

le premier moyen est de calculer les dérivées successives et d’en déduire le polynôme de Taylor. On obtient ainsi les développements suivants, que vous devrez connaître par cœur. Théorème 6. Soit n un entier, α un réel. 1. 2. 3. 4. 5. exp(x) = 1 + sin(x) = x − cos(x) = 1 − x2 xn x + + ··· + + o(xn ) . 1! 2! n! x3 x5 (−1)n x2n+1 + + ··· + + o(x2n+1 ) . 3! 5! (2n + 1)! (−1)n x2n x2 x4 + + ··· + + o(x2n ) . 2! 4! (2n)! 1 = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ) . 1−x (1 + x)α = 1 + α x + α(α − 1) 2 α(α

Transformations mathématiques Révisions avril 2009 I. Calcul d'intégrales et techniques utiles Intégration par partie uv'=u ' vv' u⇒ v' u=uv '−u' v⇒∫ v'u=[uv] – ∫ vu' Exemple :  I=∫ x ln x dx 1 u x=ln x   u'  x= x Exercice : I 2 =2 x sin x x v  x=             2 2 v' x =x I=uv – ∫ u' v⇒ I=ln x . x 1 I= ln x – ∫ x dx 2 2 x 1x I= ln x – 2 2 2 2 2 2 x 1x –∫ dx 2 x 2 2 2 x2 1 ⇒ I= ln x –  2 2 Emilie Cravero Avril 2009 Transformations mathématiques Révisions

L’énergie potentielle : Ep=-mg (R-r) cosα + Cste Le système est conservatif, l’énergie mécanique E t =Ec+Ep est conservée, ɺ ɺ Si r > α la bille roule trop vite ɺ ɺ α et θ Ont des signes opposés . dE t = 0 ce qui dt ɺɺ donne : α (t ) + 5g sin α (t ) = 0 7( R − r ) 7( R − r ) 5g 3— la période des petites oscillations T po = 2π 4— la sphère qui glisse sans rouler arrivera la première : En effet dans le cas d’un roulement sans glissement ⇒ 1 1 ɺ 1 7  ɺ 2 ɺ Ec= E* + mV(C) = J θ 2 +

condition n´ecessaire de convergence est souvent utilis´ee sous la forme ∞ lim un = 0 ⇒ un est divergente. n→∞ n=1 Exercice. En utilisant la condition n´ecessaire de convergence, v´erifier que ces s´eries ne convergent pas ∞ ∞ ∞ ∞ n 1 1 1 , cos , n sin , n log(1 + ). n + 1 n=1 n n=1 n n=1 n n=0 1.3 Op´ erations sur les s´ eries Soient deux s´eries de terme g´en´eral un et vn convergentes. Leur somme est la s´erie de terme g´en´eral un + vn , c’est-`a-dire ∞ ∞ ∞ n=1 n=1 n=1 (un + vn ) vn

II/ Rapports trigonométriques d’un angle aigu 1- Définitions : (a). Sinus d’un angle aigu Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l’hypoténuse. Sin = côté opposé / hypoténuse 2 0202 Lycée lycée secondaire secondaire Sbikha Sbikha 91        ‫المذرسة االعذادية العهذ‬ ‫الجذيذ بالسبيخة‬ 2010/2100 (b). Cosinus d’un angle aigu Dans triangle rectangle, le cosinus