Sîn

peut qu’il ne ressorte pas du cube, puisque N>1. Il  cos i  d  ...  e  sin i  1   2 n  sin 2 i      Exercice 12 : Etude d’un dioptre semi-cylindrique 1. On a : CH  R cos i  d  HI  R sin i I d C i r A’ H Donc CA '  R cos i  R  sin i . tan  r  i  SOLUTION des EXERCICES – OG1 / OG2 – Feuille 2/5 2. Conditions de Gauss : Angle faible, on peut simplifier les sin et les cos : CA '  CF '  R  R  i , et avec le loi de OG1 – Réflexion et

radian) et puis lorsqu'on appuie sur la touche SIN s'affiche le nombre 0,6156614753256582796 qui est une valeur bien plus précise de la longueur BC ! Pour AC même opération à la différence qu'on appuie sur la touche COS et il s'affiche 0,7880107536067219566. Evidemment le nombre de chiffres significatifs dépend de la précision de la calculatrice. Des explications suivent. MATHS 1 78 Alain Plantefol 2. Rapports trigonométriqu es 2.1 Définitions 1u sin α α cos α 90º B Considérons la figure ci-contre

π[ un réel fixé. Dans cette question et la suivante, on se limite aux valeurs de x du segment [α, π]. n a) On pose sn (x) = k=1 sin(kx). sin nx sin 2 (n + 1)x 2 est une constante que l’on précisera. Montrer que la différence : sn (x) − x sin 2 En déduire un majorant de |sn (x)| indépendant de n et de x ∈ [α, π]. n b) Montrer que, pour n ≥ 2, k=1 sin(kx) = k n−1 k=1 sn (x) sk (x) + . k(k + 1) n sk (x) , k ≥ 1, sur le segment [α, π]. k(k + 1) c) Justifier la convergence uniforme

o(x3) 2. 1−cos(x)2 sin(x) = sin2(x) sin(x) = sin(x) = x− x3 6 + o(x3) 3. Le DL de exp(sin(x)) est proche de celui fait ensemble en classe pour illustrer la composition de DLs. On rappelle que le DL de exp(x) est exp(x) = 1 + x+ x2 2 + x3 6 + o(x3) Celui de sin(x) est rappelé à la ligne précédente. sin(x) tend vers 0 en 0, on peut donc com- poser le DL de sin(x) avec celui de exp(x). En faisant la composition, on trouve : exp(sin(x)) = 1 + sin(x) + sin(x)2 2 + sin(x)3 6 + o(sin(x)3) = 1 + ( x− x3

2012 A nnée 2011/2012. Maths 4 Fonctions Complexes Corrigé du TD No 4 Exercice 1 Démontrer que pour tout z ∈ C, sin(iz) = i ch z, sh z + π i = i ch z. 2 S olution 1 A sin(iz) = A sh z + ei(iz) − e−i(iz) e−z − ez e−z − ez ez − e−z = = −i =i = i sh z 2i 2i 2 2 πi 2 = sh(z) ch(iπ/2) + ch(z) sh(iπ/2) = sh(z) cos(π/2) + ch(z) (i sin(π/2)) = i ch z. =0 =i Exercice 2 1. Calculer : e1−3iπ , Log(5 + 12i). 2. Calculer en utilisant la détermination principale

 + n)². Les Arabes développent considérablement la trigonométrie. Ils définissent clairement les sinus, cosinus, tangente et établissent les fameuses formules : tan α =  sin α cos α  ; (sin α)² + (cos α)² = 1 ; cos (a + b) = cos a × cos b − sin a × sin b; sin (a + b) = sin a × cos b + sin b × cos a; cos 2α = 1 − 2(sin α)²; sin 2α = 2sin α cos α; etc... Jusque là, la trigonométrie n'avait été qu'une difficile méthode basée sur les arcs de cercle et utilisée par le grand astronome grec Ptolémée

1) x Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞ : ƒ(x) = 1 x 1 x2 1 x3 1 (n xn 1) 1 x Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers 0 :   ƒ(x) = x x2 x3 x n (n 1) x sin x 2) Limites de fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par : • la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • x →+∞ x →2 lim (−3x3 − x + 2)

fr/dictionnaire/fr/definition/separer/https://www.linternaute.fr/dictionnaire/fr/definition/deux/https://www.linternaute.fr/dictionnaire/fr/definition/milieu/11 Deuxième loi : le rapport entre le sinus des angles d’incidence et de réfraction est constant : n i i  2 1 sin sin . « n » s’appelle l’indice relatif de réfraction du second milieu par rapport au premier. Troisième loi : Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens dans lequel elle se propage (principe de retour inverse de la lumière). Exemple :

fonction d´rivable e sur I, dont la d´riv´e f est continue sur I. e e Partie I 1. On d´finit la fonction ϕ sur [−π/2, π/2] par : e 1 1 ϕ (t) = − t sin t (a) si t = 0 et ϕ (0) = 0 1 ii. Calculer Sn (0) et Sn (π). (b) Calculer la valeur de l’int´grale : e Jn = 0 π 2 sin ((2n + 1) t) dt sin t Partie II 1. (a) D´terminer la limite de : e π 2 ϕ (t) sin ((2n + 1) t) dt 0 i. Donner le d´veloppement limit´ de ϕ au voisinage de 0 ` l’ordre 4. e e a ii. En d´duire que ϕ est continue et d´rivable

argumentsh, argumentch de la façon suivante : y = arcsin x ⇐⇒ x ∈ [−1, +1] x = sin y y ∈ [− π , π ] 2 2 , y = arccos x ⇐⇒ x ∈ [−1, +1] x = tan y y ∈] − π , π [ 2 2 x = chy y ∈ [0, +∞[ x = cos y y ∈ [0, π] y = arctan x ⇐⇒ x∈I R y = argshx ⇐⇒ x∈I R Montrons que x = shy y∈I R , y = argchx ⇐⇒ x ∈ [1, +∞[ 1 1 − x2 si g(x) = arcsin x, g (x) = √ On utilise le résultat sur la dérivée des fonctions réciproques : g (x) = Or sin(arcsin x) = x et de plus cos2 t + sin2 t = 1, donc cos2 (arcsin x) = 1 −