Sîn

à la loi : n1 sin i1 = n2 sin i2 d’où i2 = arcsin ( sin i1) Application numérique : i2 = arcsin ( sin 55) = 34,4° ; i2 = 34,4° i’2 est mesuré sur la figure, ou calculé car la somme des angles d’un triangle est de 180° donc : 180°= 60 + (90 – i2) + (90 –i’2) soit i’2 = 60 – i2 = 60 – 34,4 = 25,6° La troisième loi de Descartes donne i’1 n1 sin i’1 = n2 sin i’2 soit : i’1 = arcsin ( sin i’2) Application numérique : i’1 = arcsin ( sin 25,6) = 38,8° ;

اﻟﻤﻨﺎﺳﺒﺔ‬I ‫ﻣﻊ ﺗﻌﻮﻳﺾ‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ lim x + sin x ‫* ﻧﺤﺴﺐ‬ x→+∞ ‫ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ ﻧﻬﺎﻳﺔ‬x → sin 2 x ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ اﻟﺪاﻟﺔ‬ x − 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1 ‫∀ وﻣﻨﻪ‬x ∈ −1 ≤ sin x ≤ 1 ‫وﻧﻌﻠﻢ أن‬ lim x + sin x = +∞ ‫ ﻓﺎن‬lim x − 1 = +∞ ‫و ﺣﻴﺚ‬ x→+∞ x→+∞ lim 2 x + sin x x→+∞ 2 x2 + 1 = 2 ‫* ﻧﺒﻴﻦ أن‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ 2 x 2 + sin x x +1 sin − 2 ≤ 3 ‫ ﻓﺎن‬sin x ≤ 1 ‫وﺣﻴﺚ أن‬ 2 −2 = sin x − 2 x2 + 1 sin − 2 ≤ sin x + 2 2 x 2 + sin x x +1 x→+∞ 2 −2 ≤ 3 x +1 2 ‫أي‬ sin x − 2 x +1 x→+∞ 2 ≤

x 1) 1 x Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞ : 1 x2 1 x 1 x3 1 (n xn   ƒ(x) = Les fonctions suivantes tendent vers 0 lorsque x tend vers 0 : x2 x3 x n (n   ƒ(x) = x 1) x sin x 2) Limites de fonctions polynômes La limite d'une fonction polynôme P est donnée par : • la limite du terme du plus haut degré si x tend vers +∞ ou −∞ • La quantité P(a) si x tend vers a. Exemples : • • lim (−3x3 − x + 2) = lim (−3x3)

angle θ tel que cos θ = a et sin θ = b. Nous savons aussi que : ((cos θ = cos φ) et (sin θ = sin φ)) ⇔ (θ = φ + 2kπ, k ∈ Z) on dit alors que θ est congru ` φ modulo 2π et on le note θ ≡ φ[2π]. a Autrement dit, l’angle θ d´fini par les ´quations (II.3.3) n’est d´fini qu ` e e e a 2kπ pr`s. Soit maintenant z = x + iy, un nombre complexe non nul, alors e on peut l’´crire e x y z = |z|( + i ) |z| |z| Il existe un θ (d´fini ` 2kπ pr`s) tel que : e a e cos θ = puisque x y et sin θ = |z| |z| y x 2 ) + ( )2

sont proportionnels aux sinus des angles oppos´es. On a donc : sin(β) sin(γ) sin(α) = = a b c D´ emonstration : . Tra¸cons la hauteur issue de A, qui coupe [BC] en D. Il y a deux cas de figure : D peut appartenir `a [BC] ou non. Si D ∈ [BC] alors, par d´efinition du sinus : sin(β) = AD c et donc la hauteur AD a pour longueur : c × sin(β). Dans le second cas, sin(π − β) = CD c et donc CD = c × sin(π − β) = c × sin(β). La formule CD = c × sin(β) est donc toujours vraie. Calculons alors l’aire S du triangle

yS (t)  Ym sin(t  ) Nous supposons que la propagation se fait sans amortissement dans le sens des x positifs. Pour atteindre le point M situé à la distance x de la source, l’onde met le temps x t  c M reproduit donc le mouvement de S avec un retard de t! L’élongation du point M à la date t est égale à celle que la source avait à la date t  t ! y M (t)  yS (t  t)  Ym sin    t  t       x   Ym sin    t       c   2  x    Ym sin   t   

l’intérieur »). Dans le repère Oxy, les composantes des vecteurs unitaires de la base des coordonnées polaires s’écrivent :  cos θ   − sin θ  r r r r r r r r uρ =   sin θ  et u θ =  cos θ  ou u ρ = cos θ u x + sin θ u y et u θ = − sin θ u x + cos θ u y        2) Application a) r du ρ  − sin θ  r  = u θ et = dθ  cos θ    r du θ  − cos θ  r =  − sin θ  = − u ρ  dθ   d OM b) Le vecteur vitesse V(M ) = est la dérivée du rayon vecteur par rapport au temps. D’où : dt r r

2π[ et n ∈ N, Cn = k=0 cos(kθ) et Sn = k=0 sin(kθ). Exercice 5 [ 02029 ] [correction] n Calculer pour θ ∈ R et n ∈ N, Cn = k=0 n k n cos(kθ) et Sn = k=0 n k sin(kθ). Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Corrections Exercice 5 : [énoncé] Cn et Sn sont les parties réelles et imaginaires de n n ikθ nθ e = (1 + eiθ )n = 2n ei 2 cosn θ . 2 k k=0 Ainsi Cn = 2n cos nθ cosn θ et Sn = 2n sin nθ cosn θ . 2 2 2 2 2 Corrections Exercice 1

électriques monophasés Les circuits électriques monophasés 1. Présentation des grandeurs 1.1. Gradeurs sinusoïdales On considère un circuit électrique sinusoïdal monophasé : i (t ) I v(t )   Charge    v(t ) = Vm sin(ωt + ϕ v )   i (t ) = I m sin(ωt + ϕ i )   Avec : Vm : valeur maximale de la tension, Im : valeur maximale du courant. ω : pulsation (rad/sec), ω = 2π . T T : période du signal (sec), T = 1 . f f : fréquence du signal (Hz). Ce qui donne : ω

sinusoïdale quelque soit la charge Dr.F.BOUCHAFAA Redressement non commandé 5 Université des Sciences et de Technologie Houari Boumediene Rappels Une tension alternative sinusoïdale est définie par l'équation : Ve(t)  Veff. 2 .sin( ω.t ) Veff : tension efficace (V) ω : la pulsation (rd/s) ω = 2.π.f = 314 rd/s Dr.F.BOUCHAFAA Redressement non commandé 6 Université des Sciences et de Technologie Houari Boumediene Débit sur une charge résistive R D On envisage une